Matematika A3a 2009/11. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Állandóegyütthatós)
(Állandóegyütthatós)
39. sor: 39. sor:
  
 
'''3.'''  
 
'''3.'''  
:<math>y''-2y'+5y=xe^{x}\,</math>
+
:<math>y''-4y'+5y=\sin x\,</math>
 +
''Mo.''
 +
:<math>\lambda^2-4\lambda+5=0\,</math>
 +
:<math>\lambda^2-4\lambda+4=-1\,</math>
 +
:<math>(\lambda-2)^2=-1\,</math>
 +
:<math>\lambda=2\pm i\,</math>
 +
Hom. ált. mo.:
 +
:<math>y=C_1e^{2x}\sin(x)+C_2e^{2x}\cos(x)\,</math>
 +
Inhom. part.
 +
:<math>y=A\sin x+B\cos x\,</math>
 +
 
 +
==Laplace-transzformált==
 +
Legfontosabb képletek:
 +
:<math>f(t)=e^{at}\,\quad\to\quad F(s)=\frac{1}{s-a}
 +
</math>, <math>f(t)=t^n\,\quad\to\quad F(s)=\frac{n!}{s^{n+1}}
 +
</math>, <math>f(t)=e^{at}g(t)\,\quad\to\quad F(s)=G(s-a)
 +
</math>
 +
:<math>\sin(at)\,\quad\to\quad \frac{a}{s^2+a^2}
 +
</math>, <math>\cos(at)\,\quad\to\quad \frac{s}{s^2+a^2}
 +
</math>
 +
:<math>\mathcal{L}\{f'(t)\}=sF(s)-f(0)
 +
</math>, <math>\mathcal{L}\{f''(t)\}=s^2F(s)-sf(0)-f'(0)
 +
</math>
 +
:<math>\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}=F(s-a)\,</math>
 +
 
 +
'''4.'''
 +
:<math>y''+2y'+2y=0\,\quad\quad y(0)=0,\; y'(0)=1</math>
 +
''Mo.''
 +
:<math>s^2Y-1+2sY+2Y=0\,</math>
 +
:<math>Y(s^2+2s+2)=0\,</math>
 +
:<math>Y=\frac{1}{s^2+2s+1+1}</math>
 +
:<math>Y=\frac{1}{(s+1)^+1}</math>
 +
:<math>y=e^{-x}\sin x\,</math>

A lap 2009. december 10., 23:14-kori változata

Hiányos másodrendű differenciálegyenlet

1. y-ban hiányos egyenlet y''=f(x,y')\, alakú, azaz a p(x)=y' helyettesítéssel, p-ben elsőrendűvé válik p'=f(x,p) \,

y'y''+\frac{1}{x}(y')^2=x^2y'\,

Mo.

pp'+\frac{1}{x}p^2=x^2p\,
p'+\frac{1}{x}p=x^2\,

Inhomogén lineáris. A homogén:

\mathrm{ln}\,p=-\mathrm{ln}\,x+C
p(x)=\frac{c}{x}\,

Partikuláris:

\frac{c'x-c}{x^2}+\frac{c}{x^2}=x^2\,
c' = x2
c(x)=\frac{x^3}{3}\,
p=\frac{c}{x}+\frac{x^2}{3}
y=c_1\mathrm{ln}\,x+\frac{x^2}{9}+c_2

2. x-ben hiányos. Ekkor y''=f(y,y')\, és y'=p(y) ahol így y' ' =pp'

2yy'' = y'2

Mo.

2ypp'=p^2\,
2yp'=p\,
2\mathrm{ln}\,p=\mathrm{ln}\,y+C
p(y)=cy^{\frac{1}{2}}
y'=cy^{\frac{1}{2}}\,

szep.

Állandóegyütthatós

y''+ay'+by=f(x)\,

Homogén általános:

y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2}\,, ha λ1≠λ1 valós gyökök
y=C_1e^{\lambda x}+C_2xe^{\lambda x}\,, ha λ11=λ valós gyök
y=C_1e^{ax}\sin(bx)+C_2e^{ax}\cos(bx)\,, ha a + bi ill. abi nemvalós gyökök.

Ha

f(x)=e^{\alpha x}(P_1(x)\sin(\beta x)+P_2(x)\cos(\beta x))\,

akkor a partikuláris megoldás kereshető az

y(x)=x^ke^{\alpha x}(Q_1(x)\sin(\beta x)+Q_2(x)\cos(\beta x))\,

alakban, ahol k megmutatja, hogy az α\pmβ szám hányszoros gyöke a

\lambda^2+a\lambda+b\,

karakterisztikus polinomnak és a Q-k olyan fokszámú meghatározandó polinomok, mint a P-közül a nagyobbik fokszámú.

3.

y''-4y'+5y=\sin x\,

Mo.

\lambda^2-4\lambda+5=0\,
\lambda^2-4\lambda+4=-1\,
(\lambda-2)^2=-1\,
\lambda=2\pm i\,

Hom. ált. mo.:

y=C_1e^{2x}\sin(x)+C_2e^{2x}\cos(x)\,

Inhom. part.

y=A\sin x+B\cos x\,

Laplace-transzformált

Legfontosabb képletek:

f(t)=e^{at}\,\quad\to\quad F(s)=\frac{1}{s-a}
, f(t)=t^n\,\quad\to\quad F(s)=\frac{n!}{s^{n+1}}
, f(t)=e^{at}g(t)\,\quad\to\quad F(s)=G(s-a)
\sin(at)\,\quad\to\quad \frac{a}{s^2+a^2}
, \cos(at)\,\quad\to\quad \frac{s}{s^2+a^2}
\mathcal{L}\{f'(t)\}=sF(s)-f(0)
, \mathcal{L}\{f''(t)\}=s^2F(s)-sf(0)-f'(0)
\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}=F(s-a)\,

4.

y''+2y'+2y=0\,\quad\quad y(0)=0,\; y'(0)=1

Mo.

s^2Y-1+2sY+2Y=0\,
Y(s^2+2s+2)=0\,
Y=\frac{1}{s^2+2s+1+1}
Y=\frac{1}{(s+1)^+1}
y=e^{-x}\sin x\,
Személyes eszközök