Matematika A3a 2009/11. gyakorlat

Hiányos másodrendű differenciálegyenlet

1. y-ban hiányos egyenlet $y''=f(x,y')\,$ alakú, azaz a p(x)=y' helyettesítéssel, p-ben elsőrendűvé válik $p'=f(x,p) \,$

$y'y''+\frac{1}{x}(y')^2=x^2y'\,$

Mo.

$pp'+\frac{1}{x}p^2=x^2p\,$

$p'+\frac{1}{x}p=x^2\,$

Inhomogén lineáris. A homogén:

$\mathrm{ln}\,p=-\mathrm{ln}\,x+C$

$p(x)=\frac{c}{x}\,$

Partikuláris:

$\frac{c'x-c}{x^2}+\frac{c}{x^2}=x^2\,$

c' = x²

$c(x)=\frac{x^3}{3}\,$

$p=\frac{c}{x}+\frac{x^2}{3}$

$y=c_1\mathrm{ln}\,x+\frac{x^2}{9}+c_2$

2. x-ben hiányos. Ekkor $y''=f(y,y')\,$ és y'=p(y) ahol így y' ' =pp'

2yy'' = y'²

Mo.

$2ypp'=p^2\,$

$2yp'=p\,$

$2\mathrm{ln}\,p=\mathrm{ln}\,y+C$

$p(y)=cy^{\frac{1}{2}}$

$y'=cy^{\frac{1}{2}}\,$

szep.

Állandóegyütthatós

$y''+ay'+by=f(x)\,$

Homogén általános:

$y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2}\,$, ha λ₁≠λ₁ valós gyökök

$y=C_1e^{\lambda x}+C_2xe^{\lambda x}\,$, ha λ₁=λ₁=λ valós gyök

$y=C_1e^{ax}\sin(bx)+C_2e^{ax}\cos(bx)\,$, ha a + bi ill. a − bi nemvalós gyökök.

Ha

$f(x)=e^{\alpha x}(P_1(x)\sin(\beta x)+P_2(x)\cos(\beta x))\,$

akkor a partikuláris megoldás kereshető az

$y(x)=x^ke^{\alpha x}(Q_1(x)\sin(\beta x)+Q_2(x)\cos(\beta x))\,$

alakban, ahol k megmutatja, hogy az α$\pm$β szám hányszoros gyöke a

$\lambda^2+a\lambda+b\,$

karakterisztikus polinomnak és a Q-k olyan fokszámú meghatározandó polinomok, mint a P-közül a nagyobbik fokszámú.

3.

$y''-2y'+5y=xe^{x}\,$