Matematika A3a 2009/2. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
 
(Ívhosszparaméter és görbület)
6. sor: 6. sor:
 
:<math>G(s)=|\mathbf{r}''(s)|</math>
 
:<math>G(s)=|\mathbf{r}''(s)|</math>
  
'''1. Feladat''' Térjünk át az alábbi görbénél ívhosszparaméterezésre és határozzuk meg a görbületet!
+
'''1. Feladat''' Térjünk át az alábbi görbénél ívhosszparaméterezésre!
:<math>\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix}\cos^3 t\\\sin^3 t\\ \cos 2t \end{bmatrix}</math> ahol <math>t\in[0,2\pi]</math>
+
:<math>\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix}\cos^3 t\\\sin^3 t\\ \cos 2t \end{bmatrix}</math> ahol <math>t\in[0,\pi/2]</math>
  
 
:''Mo.''  
 
:''Mo.''  
:<math>\dot\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix} -3\cos^2 t\sin t\\ 3\sin^2 \cos t\\ -2\sin 2t \end{bmatrix}</math> ahol <math>t\in[0,2\pi]</math>
+
:<math>\dot\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix} -3\cos^2 t\sin t\\ 3\sin^2 \cos t\\ -2\sin 2t \end{bmatrix}</math>  
 +
:<math>\dot\mathbf{r}(t)^2=\sin^2 t\cos^2 t (9\cos^2 t+ 9\sin^2 + 4)</math>
 +
:<math>s(t)=\int\limits_0^t\frac{\sqrt{13}}{2}|\sin 2t'|\;\mathrm{d}t'=\frac{\sqrt{13}}{4}(\cos(2t)-1)</math>
 +
:<math>t(s)=\frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4}{13}s+1)</math>
 +
:<math>\mathbf{r}(s)=\begin{bmatrix}\cos^3 \frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4}{13}s+1)\\\sin^3 \frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4}{13}s+1)\\ \cos 2\frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4}{13}s+1) \end{bmatrix}</math> ahol <math>s\in[0,\frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4\pi}{26}+1)]</math>
 +
 
 +
'''2. Feladat'''

A lap 2009. szeptember 17., 14:05-kori változata

Matematika A3a 2009

Ívhosszparaméter és görbület

A görbület adott pontban független a koordinátarendszer választásától. Ezt például az is mutatja, hogy egy általános paraméterezésben felírt értékén

G(t)=\frac{|\dot{\mathbf{r}}\times\ddot\mathbf{r}|}{|\dot{\mathbf{r}}|^3 }\,

túl a koordinátarendszerfüggetlen ívhosszpraméterezésben is kifejezhető a nagysága:

G(s)=|\mathbf{r}''(s)|

1. Feladat Térjünk át az alábbi görbénél ívhosszparaméterezésre!

\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix}\cos^3 t\\\sin^3 t\\ \cos 2t \end{bmatrix} ahol t\in[0,\pi/2]
Mo.
\dot\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix} -3\cos^2 t\sin t\\ 3\sin^2 \cos t\\ -2\sin 2t \end{bmatrix}
\dot\mathbf{r}(t)^2=\sin^2 t\cos^2 t (9\cos^2 t+ 9\sin^2 + 4)
s(t)=\int\limits_0^t\frac{\sqrt{13}}{2}|\sin 2t'|\;\mathrm{d}t'=\frac{\sqrt{13}}{4}(\cos(2t)-1)
t(s)=\frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4}{13}s+1)
\mathbf{r}(s)=\begin{bmatrix}\cos^3 \frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4}{13}s+1)\\\sin^3 \frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4}{13}s+1)\\ \cos 2\frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4}{13}s+1) \end{bmatrix} ahol s\in[0,\frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4\pi}{26}+1)]

2. Feladat

Személyes eszközök