Matematika A3a 2009/2. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Kísérő triéder)
(Kísérő triéder)
47. sor: 47. sor:
 
:<math>x^2+y^2+z^2=3,\;\;2x+y=3</math>
 
:<math>x^2+y^2+z^2=3,\;\;2x+y=3</math>
 
egyenletekkel megadott implicit megadású görbe kísérő triéderét a P=(1,1,1) pontban!
 
egyenletekkel megadott implicit megadású görbe kísérő triéderét a P=(1,1,1) pontban!
 +
 +
''Mo.''
 +
:<math>x^2+(3-2x)^2+z^2=3</math>
 +
:<math>z^2=3-x^2-(3-2x)^2</math>
 +
 +
:<math>\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix} t\\ 3-2t\\ \sqrt{3-x^2-(3-2x)^2} \end{bmatrix}</math>, <math>\dot\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix} 1\\ -2\\ \sqrt{3-x^2-(3-2x)^2} \end{bmatrix}|=\begin{bmatrix} 1\\ -2\\1 \end{bmatrix}</math>,
 +
 +
:<math>2zz'=-2x+2(3-2x)=\,-4x+6</math>, <math>z'=\left.\frac{-4x+6}{2z}\right|=1</math>

A lap 2009. szeptember 17., 20:18-kori változata

Matematika A3a 2009

Ívhosszparaméter és görbület

A görbület adott pontban független a koordinátarendszer választásától. Ezt például az is mutatja, hogy egy általános paraméterezésben felírt értékén

G(t)=\frac{|\dot{\mathbf{r}}\times\ddot\mathbf{r}|}{|\dot{\mathbf{r}}|^3 }\,

túl a koordinátarendszerfüggetlen ívhosszpraméterezésben is kifejezhető a nagysága:

G(s)=|\mathbf{r}''(s)|


(0. Feladat Térjünk át az alábbi görbénél ívhosszparaméterezésre!

\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix}\cos^3 t\\\sin^3 t\\ \cos 2t \end{bmatrix} ahol t\in[0,\pi/2])

1. Feladat Térjünk át az alábbi görbénél ívhosszparaméterezésre és számítsuk ki a görbületét!

\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix}\cos t^2\\\sin t^2\\ t^2 \end{bmatrix} ahol t\in[0,\pi/2]
Mo.
\dot\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix} -2\sin(t)t\\ 2\cos(t)t \\ 2t \end{bmatrix}, (\dot\mathbf{r}(t))^2=8t^2
s(t)=\int\limits_0^t\sqrt{8}t'\;\mathrm{d}t'=\frac{\sqrt{8}}{2}t^2, t(s)=\sqrt{\frac{2}{\sqrt{8}}}\sqrt{s}
\mathbf{r}(s)=\begin{bmatrix}\cos \frac{1}{\sqrt{2}}s\\\sin \frac{1}{\sqrt{2}}s\\ \frac{1}{\sqrt{2}}s \end{bmatrix}, \mathbf{r}'(s)=\begin{bmatrix}-\frac{1}{\sqrt{2}}\sin \frac{1}{\sqrt{2}}s\\\frac{1}{\sqrt{2}}\cos \frac{1}{\sqrt{2}}s\\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}, \mathbf{r}''(s)=\begin{bmatrix}-\frac{1}{2}\cos \frac{1}{\sqrt{2}}s\\-\frac{1}{2}\sin \frac{1}{\sqrt{2}}s\\ 0 \end{bmatrix}

2. Feladat

\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix}\cos t\\\sin t\\ bt\end{bmatrix}

Határozzuk meg a görbesereg egy-egy görbéjének görbületét a b paraméter függvényében. Térjünk át ívhossz paraméterezésre!

Kísérő triéder

3. Feladat A t paraméter mely értékére párhuzamos az

\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix} e^{2t}\\ 2e^t \\ t \end{bmatrix}

görbe simulósíkja az

5-x=1-y=-2z\,

egyenletű egyenessel?

Mo.

\dot\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix} 2e^{2t}\\ 2e^t \\ 1 \end{bmatrix}, \ddot\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix} 4e^{2t}\\ 2e^t \\ 0 \end{bmatrix}, \mathbf{b}=\dot\mathbf{r}\times\ddot\mathbf{r}=\begin{bmatrix} 2e^{2t}\\ 2e^t \\ 1 \end{bmatrix}\times\begin{bmatrix} 4e^{2t}\\ 2e^t \\ 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2e^{2t}\\ 4e^{2t} \\ -4e^{3t} \end{bmatrix}

a simulósík normálvektora. Ez merőleges a (1,1,1/2) --> (2,2,1)-re

-4e^{2t}+8e^{2t}-4e^{3t}=0\,
1-e^{t}=0\,, t=0\,


4. Feladat Határozzuk meg az

x^2+y^2+z^2=3,\;\;2x+y=3

egyenletekkel megadott implicit megadású görbe kísérő triéderét a P=(1,1,1) pontban!

Mo.

x2 + (3 − 2x)2 + z2 = 3
z2 = 3 − x2 − (3 − 2x)2
\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix} t\\ 3-2t\\ \sqrt{3-x^2-(3-2x)^2} \end{bmatrix}, \dot\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix} 1\\ -2\\ \sqrt{3-x^2-(3-2x)^2} \end{bmatrix}|=\begin{bmatrix} 1\\ -2\\1 \end{bmatrix},
2zz'=-2x+2(3-2x)=\,-4x+6, z'=\left.\frac{-4x+6}{2z}\right|=1
Személyes eszközök