Matematika A3a 2009/2. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Kísérő triéder) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Kísérő triéder) |
||
55. sor: | 55. sor: | ||
:<math>2zz'=-2x+2(3-2x)=\,-4x+6</math>, <math>z'=\left.\frac{-4x+6}{2z}\right|=1</math> | :<math>2zz'=-2x+2(3-2x)=\,-4x+6</math>, <math>z'=\left.\frac{-4x+6}{2z}\right|=1</math> | ||
+ | |||
+ | ==Felületek== | ||
+ | |||
+ | '''5. Feladat.''' Paraméterezzük a z ill. az y tengely körül körbeforgatott <math> z=y^2</math> parabola által kirajzolt felületet! | ||
+ | |||
+ | ''Mo.'' a) <math>x^2+y^2=z\,</math> | ||
+ | :<math>\mathbf{r}(u,v)=\begin{bmatrix} \sqrt{z}\cos u\\ \sqrt{z}\sin u\\ z \end{bmatrix}</math> | ||
+ | |||
+ | b) <math>x^2+z^2=y^4\,</math> | ||
+ | :<math>\mathbf{r}(u,v)=\begin{bmatrix} y^2\cos u\\ y\\ y^2\sin u \end{bmatrix}</math> | ||
+ | |||
+ | '''6. Feladat''' Mely pontokban párhuzamosak ill. merőlegesek az | ||
+ | :<math>\mathbf{r}(u,v)=(u^2+v^2)\mathbf{i}+uv\mathbf{j}+\cos u\cos v\mathbf{k}\,</math> | ||
+ | felület pontbeli "koordinátavonalai" (az ∂'''r'''/∂u és ∂'''r'''/∂v vektorok)? | ||
+ | |||
+ | '''7. Feladat.''' Mely pontokban párhuzamos az xyz=1 egyenletű felület érintősíkja az x+y+z=5 síkkal? |
A lap 2009. szeptember 17., 21:03-kori változata
Ívhosszparaméter és görbület
A görbület adott pontban független a koordinátarendszer választásától. Ezt például az is mutatja, hogy egy általános paraméterezésben felírt értékén
túl a koordinátarendszerfüggetlen ívhosszpraméterezésben is kifejezhető a nagysága:
(0. Feladat Térjünk át az alábbi görbénél ívhosszparaméterezésre!
- ahol )
1. Feladat Térjünk át az alábbi görbénél ívhosszparaméterezésre és számítsuk ki a görbületét!
- ahol
- Mo.
- ,
- ,
- , ,
2. Feladat
Határozzuk meg a görbesereg egy-egy görbéjének görbületét a b paraméter függvényében. Térjünk át ívhossz paraméterezésre!
Kísérő triéder
3. Feladat A t paraméter mely értékére párhuzamos az
görbe simulósíkja az
egyenletű egyenessel?
Mo.
- , ,
a simulósík normálvektora. Ez merőleges a (1,1,1/2) --> (2,2,1)-re
- ,
4. Feladat Határozzuk meg az
egyenletekkel megadott implicit megadású görbe kísérő triéderét a P=(1,1,1) pontban!
Mo.
- x2 + (3 − 2x)2 + z2 = 3
- z2 = 3 − x2 − (3 − 2x)2
- , ,
- ,
Felületek
5. Feladat. Paraméterezzük a z ill. az y tengely körül körbeforgatott z = y2 parabola által kirajzolt felületet!
Mo. a)
b)
6. Feladat Mely pontokban párhuzamosak ill. merőlegesek az
felület pontbeli "koordinátavonalai" (az ∂r/∂u és ∂r/∂v vektorok)?
7. Feladat. Mely pontokban párhuzamos az xyz=1 egyenletű felület érintősíkja az x+y+z=5 síkkal?