Matematika A3a 2009/2. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Ívhosszparaméter és görbület) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Ívhosszparaméter és görbület) |
||
(egy szerkesztő 6 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
6. sor: | 6. sor: | ||
:<math>G(s)=|\mathbf{r}''(s)|</math> | :<math>G(s)=|\mathbf{r}''(s)|</math> | ||
− | ''' | + | |
− | :<math>\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix}\cos^3 t\\\sin^3 t\\ \cos 2t \end{bmatrix}</math> ahol <math>t\in[0,\pi/2]</math> | + | ('''0. Feladat''' Térjünk át az alábbi görbénél ívhosszparaméterezésre! |
+ | :<math>\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix}\cos^3 t\\\sin^3 t\\ \cos 2t \end{bmatrix}</math> ahol <math>t\in[0,\pi/2]</math>) | ||
:''Mo.'' | :''Mo.'' | ||
14. sor: | 15. sor: | ||
:<math>s(t)=\int\limits_0^t\frac{\sqrt{13}}{2}|\sin 2t'|\;\mathrm{d}t'=\frac{\sqrt{13}}{4}(\cos(2t)-1)</math> | :<math>s(t)=\int\limits_0^t\frac{\sqrt{13}}{2}|\sin 2t'|\;\mathrm{d}t'=\frac{\sqrt{13}}{4}(\cos(2t)-1)</math> | ||
:<math>t(s)=\frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4}{13}s+1)</math> | :<math>t(s)=\frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4}{13}s+1)</math> | ||
− | :<math>\mathbf{r}(s)=\begin{bmatrix}\cos^3 \frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4}{13}s+1)\\\sin^3 \frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4}{13}s+1)\\ \cos 2\frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4}{13}s+1) \end{bmatrix}</math> ahol <math>s\in[0,\frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4\pi}{26}+1)]</math> | + | :<math>\mathbf{r}(s)=\begin{bmatrix}\cos^3 \frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4}{13}s+1)\\\sin^3 \frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4}{13}s+1)\\ \cos 2\frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4}{13}s+1) \end{bmatrix}</math> ahol <math>s\in[0,\frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4\pi}{26}+1)]</math> |
+ | |||
+ | '''1. Feladat''' Térjünk át az alábbi görbénél ívhosszparaméterezésre és számítsuk ki a görbületét! | ||
+ | :<math>\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix}\cos t^2\\\sin t^2\\ t^2 \end{bmatrix}</math> ahol <math>t\in[0,\pi/2]</math> | ||
+ | :''Mo.'' | ||
+ | :<math>\dot\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix} -2\sin(t)t\\ 2\cos(t)t \\ 2t \end{bmatrix}</math>, <math>(\dot\mathbf{r}(t))^2=8t^2</math> | ||
+ | :<math>s(t)=\int\limits_0^t\sqrt{8}t'\;\mathrm{d}t'=\frac{\sqrt{8}}{2}t^2</math>, <math>t(s)=\sqrt{\frac{2}{\sqrt{8}}}\sqrt{s}</math> | ||
+ | :<math>\mathbf{r}(s)=\begin{bmatrix}\cos \frac{1}{\sqrt{2}}s\\\sin \frac{1}{\sqrt{2}}s\\ \frac{1}{\sqrt{2}}s \end{bmatrix}</math>, <math>\mathbf{r}'(s)=\begin{bmatrix}-\frac{1}{\sqrt{2}}\sin \frac{1}{\sqrt{2}}s\\\frac{1}{\sqrt{2}}\cos \frac{1}{\sqrt{2}}s\\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}</math>, <math>\mathbf{r}''(s)=\begin{bmatrix}-\frac{1}{2}\cos \frac{1}{\sqrt{2}}s\\-\frac{1}{2}\sin \frac{1}{\sqrt{2}}s\\ 0 \end{bmatrix}</math> | ||
+ | |||
+ | '''2. Feladat''' | ||
+ | :<math>\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix}\cos t\\\sin t\\ bt\end{bmatrix}</math> | ||
+ | Határozzuk meg a görbesereg egy-egy görbéjének görbületét a ''b'' paraméter függvényében. Térjünk át ívhossz paraméterezésre! | ||
+ | |||
+ | == Kísérő triéder == | ||
+ | |||
+ | '''3. Feladat''' A ''t'' paraméter mely értékére párhuzamos az | ||
+ | :<math>\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix} e^{2t}\\ 2e^t \\ t \end{bmatrix}</math> | ||
+ | görbe simulósíkja az | ||
+ | :<math>5-x=1-y=-2z\,</math> | ||
+ | egyenletű egyenessel? | ||
+ | |||
+ | ''Mo.'' | ||
+ | :<math>\dot\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix} 2e^{2t}\\ 2e^t \\ 1 \end{bmatrix}</math>, <math>\ddot\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix} 4e^{2t}\\ 2e^t \\ 0 \end{bmatrix}</math>, <math>\mathbf{b}=\dot\mathbf{r}\times\ddot\mathbf{r}=\begin{bmatrix} 2e^{2t}\\ 2e^t \\ 1 \end{bmatrix}\times\begin{bmatrix} 4e^{2t}\\ 2e^t \\ 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2e^{2t}\\ 4e^{2t} \\ -4e^{3t} \end{bmatrix}</math> | ||
+ | a simulósík normálvektora. Ez merőleges a (1,1,1/2) --> (2,2,1)-re | ||
+ | :<math>-4e^{2t}+8e^{2t}-4e^{3t}=0\,</math> | ||
+ | :<math>1-e^{t}=0\,</math>, <math>t=0\,</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | '''4. Feladat''' Határozzuk meg az | ||
+ | :<math>x^2+y^2+z^2=3,\;\;2x+y=3</math> | ||
+ | egyenletekkel megadott implicit megadású görbe kísérő triéderét a P=(1,1,1) pontban! | ||
+ | |||
+ | ''Mo.'' | ||
+ | :<math>x^2+(3-2x)^2+z^2=3</math> | ||
+ | :<math>z^2=3-x^2-(3-2x)^2</math> | ||
+ | |||
+ | :<math>\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix} t\\ 3-2t\\ \sqrt{3-x^2-(3-2x)^2} \end{bmatrix}</math>, <math>\dot\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix} 1\\ -2\\ \sqrt{3-x^2-(3-2x)^2} \end{bmatrix}|=\begin{bmatrix} 1\\ -2\\1 \end{bmatrix}</math>, | ||
+ | |||
+ | :<math>2zz'=-2x+2(3-2x)=\,-4x+6</math>, <math>z'=\left.\frac{-4x+6}{2z}\right|=1</math> | ||
+ | |||
+ | ==Felületek== | ||
+ | |||
+ | '''5. Feladat.''' Paraméterezzük a z ill. az y tengely körül körbeforgatott <math> z=y^2</math> parabola által kirajzolt felületet! | ||
+ | |||
+ | ''Mo.'' a) <math>x^2+y^2=z\,</math> | ||
+ | :<math>\mathbf{r}(u,v)=\begin{bmatrix} \sqrt{z}\cos u\\ \sqrt{z}\sin u\\ z \end{bmatrix}</math> | ||
+ | |||
+ | b) <math>x^2+z^2=y^4\,</math> | ||
+ | :<math>\mathbf{r}(u,y)=\begin{bmatrix} y^2\cos u\\ y\\ y^2\sin u \end{bmatrix}</math> | ||
+ | <!-- | ||
+ | c) Kúppalást. | ||
+ | :<math>\mathbf{r}(u,z)=\begin{bmatrix} z\cos u\\ z\sin u\\ z \end{bmatrix}</math> | ||
+ | :<math>\frac{\partial\mathbf{r}(u,z)}{\partial u}=\begin{bmatrix} -z\sin u\\ z\cos u\\ z \end{bmatrix}</math>, <math>\frac{\partial\mathbf{r}(u,v)}{\partial z}=\begin{bmatrix} \cos u\\ \sin u\\ 1 \end{bmatrix}</math> | ||
+ | :<math>\begin{bmatrix} -z\sin u\\ z\cos u\\ z \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} \cos u\\ \sin u\\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} z(\cos u+\sin u)\\ z(\cos u+\sin u)\\ -z\end{bmatrix}</math> | ||
+ | :hossza <math>= |z|\sqrt{4\cos\sin+3}=|z|\sqrt{3+2\sin 2u}</math>--> | ||
+ | |||
+ | '''6. Feladat''' Mely pontokban párhuzamosak ill. merőlegesek az | ||
+ | :<math>\mathbf{r}(u,v)=(u^2+v^2)\mathbf{i}+uv\mathbf{j}+\cos u\cos v\mathbf{k}\,</math> | ||
+ | felület pontbeli "koordinátavonalai" (az ∂'''r'''/∂u és ∂'''r'''/∂v vektorok)? | ||
− | ''' | + | '''7. Feladat.''' Mely pontokban párhuzamos az xyz=1 egyenletű felület érintősíkja az x+y+z=5 síkkal? |
A lap jelenlegi, 2009. szeptember 17., 22:29-kori változata
Ívhosszparaméter és görbület
A görbület adott pontban független a koordinátarendszer választásától. Ezt például az is mutatja, hogy egy általános paraméterezésben felírt értékén
túl a koordinátarendszerfüggetlen ívhosszpraméterezésben is kifejezhető a nagysága:
(0. Feladat Térjünk át az alábbi görbénél ívhosszparaméterezésre!
- ahol )
- Mo.
- ahol
1. Feladat Térjünk át az alábbi görbénél ívhosszparaméterezésre és számítsuk ki a görbületét!
- ahol
- Mo.
- ,
- ,
- , ,
2. Feladat
Határozzuk meg a görbesereg egy-egy görbéjének görbületét a b paraméter függvényében. Térjünk át ívhossz paraméterezésre!
Kísérő triéder
3. Feladat A t paraméter mely értékére párhuzamos az
görbe simulósíkja az
egyenletű egyenessel?
Mo.
- , ,
a simulósík normálvektora. Ez merőleges a (1,1,1/2) --> (2,2,1)-re
- ,
4. Feladat Határozzuk meg az
egyenletekkel megadott implicit megadású görbe kísérő triéderét a P=(1,1,1) pontban!
Mo.
- x2 + (3 − 2x)2 + z2 = 3
- z2 = 3 − x2 − (3 − 2x)2
- , ,
- ,
Felületek
5. Feladat. Paraméterezzük a z ill. az y tengely körül körbeforgatott z = y2 parabola által kirajzolt felületet!
Mo. a)
b)
6. Feladat Mely pontokban párhuzamosak ill. merőlegesek az
felület pontbeli "koordinátavonalai" (az ∂r/∂u és ∂r/∂v vektorok)?
7. Feladat. Mely pontokban párhuzamos az xyz=1 egyenletű felület érintősíkja az x+y+z=5 síkkal?