Matematika A3a 2009/2. gyakorlat
A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Ívhosszparaméter és görbület) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Ívhosszparaméter és görbület) |
||
6. sor: | 6. sor: | ||
:<math>G(s)=|\mathbf{r}''(s)|</math> | :<math>G(s)=|\mathbf{r}''(s)|</math> | ||
− | |||
− | |||
+ | ('''0. Feladat''' Térjünk át az alábbi görbénél ívhosszparaméterezésre! | ||
+ | :<math>\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix}\cos^3 t\\\sin^3 t\\ \cos 2t \end{bmatrix}</math> ahol <math>t\in[0,\pi/2]</math>) | ||
+ | <!-- | ||
:''Mo.'' | :''Mo.'' | ||
:<math>\dot\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix} -3\cos^2 t\sin t\\ 3\sin^2 \cos t\\ -2\sin 2t \end{bmatrix}</math> | :<math>\dot\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix} -3\cos^2 t\sin t\\ 3\sin^2 \cos t\\ -2\sin 2t \end{bmatrix}</math> | ||
14. sor: | 15. sor: | ||
:<math>s(t)=\int\limits_0^t\frac{\sqrt{13}}{2}|\sin 2t'|\;\mathrm{d}t'=\frac{\sqrt{13}}{4}(\cos(2t)-1)</math> | :<math>s(t)=\int\limits_0^t\frac{\sqrt{13}}{2}|\sin 2t'|\;\mathrm{d}t'=\frac{\sqrt{13}}{4}(\cos(2t)-1)</math> | ||
:<math>t(s)=\frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4}{13}s+1)</math> | :<math>t(s)=\frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4}{13}s+1)</math> | ||
− | :<math>\mathbf{r}(s)=\begin{bmatrix}\cos^3 \frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4}{13}s+1)\\\sin^3 \frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4}{13}s+1)\\ \cos 2\frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4}{13}s+1) \end{bmatrix}</math> ahol <math>s\in[0,\frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4\pi}{26}+1)]</math> | + | :<math>\mathbf{r}(s)=\begin{bmatrix}\cos^3 \frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4}{13}s+1)\\\sin^3 \frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4}{13}s+1)\\ \cos 2\frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4}{13}s+1) \end{bmatrix}</math> ahol <math>s\in[0,\frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4\pi}{26}+1)]</math> --> |
− | '''2. Feladat''' | + | '''1. Feladat''' Térjünk át az alábbi görbénél ívhosszparaméterezésre és számítsuk ki a görbületét! |
+ | :<math>\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix}\cos t^2\\\sin t^2\\ t^2 \end{bmatrix}</math> ahol <math>t\in[0,\pi/2]</math> | ||
+ | :''Mo.'' | ||
+ | :<math>\dot\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix} -2\sin(t)t\\ 2\cos(t)t \\ 2t \end{bmatrix}</math>, <math>(\dot\mathbf{r}(t))^2=8t^2</math> | ||
+ | :<math>s(t)=\int\limits_0^t\sqrt{8}t'\;\mathrm{d}t'=\frac{\sqrt{8}}{2}t^2</math>, <math>t(s)=\sqrt{\frac{2}{\sqrt{8}}}\sqrt{s}</math> | ||
+ | :<math>\mathbf{r}(s)=\begin{bmatrix}\cos \frac{1}{\sqrt{2}}s\\\sin \frac{1}{\sqrt{2}}s\\ \frac{1}{\sqrt{2}}s \end{bmatrix}</math>, <math>\mathbf{r}'(s)=\begin{bmatrix}-\frac{1}{\sqrt{2}}\sin \frac{1}{\sqrt{2}}s\\\frac{1}{\sqrt{2}}\cos \frac{1}{\sqrt{2}}s\\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}</math>, <math>\mathbf{r}''(s)=\begin{bmatrix}-\frac{1}{2}\cos \frac{1}{\sqrt{2}}s\\-\frac{1}{2}\sin \frac{1}{\sqrt{2}}s\\ 0 \end{bmatrix}</math> | ||
+ | |||
+ | '''2. Feladat''' | ||
+ | :<math>\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix}\cos t\\\sin t\\ bt\end{bmatrix}</math> | ||
+ | Határozzuk meg a görbesereg egy-egy görbéjének görbületét a ''b'' paraméter függvényében. Térjünk át ívhossz paraméterezésre! | ||
+ | |||
+ | == Kísérő triéder == | ||
+ | |||
+ | '''3. Feladat''' A ''t' paraméter mely értékére párhuzamos az | ||
+ | :<math>\dot\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix} e^{2t}\\ 2e^t \\ t \end{bmatrix}</math> | ||
+ | görbe simulósíkja az | ||
+ | :<math>5-x=1-y=-2z\,</math> | ||
+ | egyenletű egyenessel? | ||
+ | |||
+ | '''4. Feladat''' Határozzuk meg az | ||
+ | :<math>x^2+y^2+z^2=3,\;\;2x+y=3</math> | ||
+ | egyenletekkel megadott implicit megadású görbe kísérő triéderét a P=(1,1,1) pontban! |
A lap 2009. szeptember 17., 15:00-kori változata
Ívhosszparaméter és görbület
A görbület adott pontban független a koordinátarendszer választásától. Ezt például az is mutatja, hogy egy általános paraméterezésben felírt értékén
túl a koordinátarendszerfüggetlen ívhosszpraméterezésben is kifejezhető a nagysága:
(0. Feladat Térjünk át az alábbi görbénél ívhosszparaméterezésre!
- ahol )
1. Feladat Térjünk át az alábbi görbénél ívhosszparaméterezésre és számítsuk ki a görbületét!
- ahol
- Mo.
- ,
- ,
- , ,
2. Feladat
Határozzuk meg a görbesereg egy-egy görbéjének görbületét a b paraméter függvényében. Térjünk át ívhossz paraméterezésre!
Kísérő triéder
3. Feladat A t' paraméter mely értékére párhuzamos az
görbe simulósíkja az
egyenletű egyenessel?
4. Feladat Határozzuk meg az
egyenletekkel megadott implicit megadású görbe kísérő triéderét a P=(1,1,1) pontban!