Matematika A3a 2009/2. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Ívhosszparaméter és görbület)
(Ívhosszparaméter és görbület)
6. sor: 6. sor:
 
:<math>G(s)=|\mathbf{r}''(s)|</math>
 
:<math>G(s)=|\mathbf{r}''(s)|</math>
  
'''1. Feladat''' Térjünk át az alábbi görbénél ívhosszparaméterezésre!
 
:<math>\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix}\cos^3 t\\\sin^3 t\\ \cos 2t \end{bmatrix}</math> ahol <math>t\in[0,\pi/2]</math>
 
  
 +
('''0. Feladat''' Térjünk át az alábbi görbénél ívhosszparaméterezésre!
 +
:<math>\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix}\cos^3 t\\\sin^3 t\\ \cos 2t \end{bmatrix}</math> ahol <math>t\in[0,\pi/2]</math>)
 +
<!--
 
:''Mo.''  
 
:''Mo.''  
 
:<math>\dot\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix} -3\cos^2 t\sin t\\ 3\sin^2 \cos t\\ -2\sin 2t \end{bmatrix}</math>  
 
:<math>\dot\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix} -3\cos^2 t\sin t\\ 3\sin^2 \cos t\\ -2\sin 2t \end{bmatrix}</math>  
14. sor: 15. sor:
 
:<math>s(t)=\int\limits_0^t\frac{\sqrt{13}}{2}|\sin 2t'|\;\mathrm{d}t'=\frac{\sqrt{13}}{4}(\cos(2t)-1)</math>
 
:<math>s(t)=\int\limits_0^t\frac{\sqrt{13}}{2}|\sin 2t'|\;\mathrm{d}t'=\frac{\sqrt{13}}{4}(\cos(2t)-1)</math>
 
:<math>t(s)=\frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4}{13}s+1)</math>
 
:<math>t(s)=\frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4}{13}s+1)</math>
:<math>\mathbf{r}(s)=\begin{bmatrix}\cos^3 \frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4}{13}s+1)\\\sin^3 \frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4}{13}s+1)\\ \cos 2\frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4}{13}s+1) \end{bmatrix}</math> ahol <math>s\in[0,\frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4\pi}{26}+1)]</math>
+
:<math>\mathbf{r}(s)=\begin{bmatrix}\cos^3 \frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4}{13}s+1)\\\sin^3 \frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4}{13}s+1)\\ \cos 2\frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4}{13}s+1) \end{bmatrix}</math> ahol <math>s\in[0,\frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4\pi}{26}+1)]</math> -->
  
'''2. Feladat'''
+
'''1. Feladat'''  Térjünk át az alábbi görbénél ívhosszparaméterezésre és számítsuk ki a görbületét!
 +
:<math>\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix}\cos t^2\\\sin t^2\\ t^2 \end{bmatrix}</math> ahol <math>t\in[0,\pi/2]</math>
 +
:''Mo.''
 +
:<math>\dot\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix} -2\sin(t)t\\ 2\cos(t)t \\ 2t \end{bmatrix}</math>, <math>(\dot\mathbf{r}(t))^2=8t^2</math> 
 +
:<math>s(t)=\int\limits_0^t\sqrt{8}t'\;\mathrm{d}t'=\frac{\sqrt{8}}{2}t^2</math>, <math>t(s)=\sqrt{\frac{2}{\sqrt{8}}}\sqrt{s}</math>
 +
:<math>\mathbf{r}(s)=\begin{bmatrix}\cos \frac{1}{\sqrt{2}}s\\\sin \frac{1}{\sqrt{2}}s\\ \frac{1}{\sqrt{2}}s \end{bmatrix}</math>, <math>\mathbf{r}'(s)=\begin{bmatrix}-\frac{1}{\sqrt{2}}\sin \frac{1}{\sqrt{2}}s\\\frac{1}{\sqrt{2}}\cos \frac{1}{\sqrt{2}}s\\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}</math>, <math>\mathbf{r}''(s)=\begin{bmatrix}-\frac{1}{2}\cos \frac{1}{\sqrt{2}}s\\-\frac{1}{2}\sin \frac{1}{\sqrt{2}}s\\ 0 \end{bmatrix}</math>
 +
 
 +
'''2. Feladat'''  
 +
:<math>\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix}\cos t\\\sin t\\ bt\end{bmatrix}</math>
 +
Határozzuk meg a görbesereg egy-egy görbéjének görbületét a ''b'' paraméter függvényében. Térjünk át ívhossz paraméterezésre!
 +
 
 +
== Kísérő triéder ==
 +
 
 +
'''3. Feladat''' A ''t' paraméter mely értékére párhuzamos az
 +
:<math>\dot\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix} e^{2t}\\ 2e^t \\ t \end{bmatrix}</math>
 +
görbe simulósíkja az
 +
:<math>5-x=1-y=-2z\,</math>
 +
egyenletű egyenessel?
 +
 
 +
'''4. Feladat''' Határozzuk meg az
 +
:<math>x^2+y^2+z^2=3,\;\;2x+y=3</math>
 +
egyenletekkel megadott implicit megadású görbe kísérő triéderét a P=(1,1,1) pontban!

A lap 2009. szeptember 17., 15:00-kori változata

Matematika A3a 2009

Ívhosszparaméter és görbület

A görbület adott pontban független a koordinátarendszer választásától. Ezt például az is mutatja, hogy egy általános paraméterezésben felírt értékén

G(t)=\frac{|\dot{\mathbf{r}}\times\ddot\mathbf{r}|}{|\dot{\mathbf{r}}|^3 }\,

túl a koordinátarendszerfüggetlen ívhosszpraméterezésben is kifejezhető a nagysága:

G(s)=|\mathbf{r}''(s)|


(0. Feladat Térjünk át az alábbi görbénél ívhosszparaméterezésre!

\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix}\cos^3 t\\\sin^3 t\\ \cos 2t \end{bmatrix} ahol t\in[0,\pi/2])

1. Feladat Térjünk át az alábbi görbénél ívhosszparaméterezésre és számítsuk ki a görbületét!

\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix}\cos t^2\\\sin t^2\\ t^2 \end{bmatrix} ahol t\in[0,\pi/2]
Mo.
\dot\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix} -2\sin(t)t\\ 2\cos(t)t \\ 2t \end{bmatrix}, (\dot\mathbf{r}(t))^2=8t^2
s(t)=\int\limits_0^t\sqrt{8}t'\;\mathrm{d}t'=\frac{\sqrt{8}}{2}t^2, t(s)=\sqrt{\frac{2}{\sqrt{8}}}\sqrt{s}
\mathbf{r}(s)=\begin{bmatrix}\cos \frac{1}{\sqrt{2}}s\\\sin \frac{1}{\sqrt{2}}s\\ \frac{1}{\sqrt{2}}s \end{bmatrix}, \mathbf{r}'(s)=\begin{bmatrix}-\frac{1}{\sqrt{2}}\sin \frac{1}{\sqrt{2}}s\\\frac{1}{\sqrt{2}}\cos \frac{1}{\sqrt{2}}s\\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}, \mathbf{r}''(s)=\begin{bmatrix}-\frac{1}{2}\cos \frac{1}{\sqrt{2}}s\\-\frac{1}{2}\sin \frac{1}{\sqrt{2}}s\\ 0 \end{bmatrix}

2. Feladat

\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix}\cos t\\\sin t\\ bt\end{bmatrix}

Határozzuk meg a görbesereg egy-egy görbéjének görbületét a b paraméter függvényében. Térjünk át ívhossz paraméterezésre!

Kísérő triéder

3. Feladat A t' paraméter mely értékére párhuzamos az

\dot\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix} e^{2t}\\ 2e^t \\ t \end{bmatrix}

görbe simulósíkja az

5-x=1-y=-2z\,

egyenletű egyenessel?

4. Feladat Határozzuk meg az

x^2+y^2+z^2=3,\;\;2x+y=3

egyenletekkel megadott implicit megadású görbe kísérő triéderét a P=(1,1,1) pontban!

Személyes eszközök