Matematika A3a 2009/2. gyakorlat

A MathWikiből

(Változatok közti eltérés)

A lap 2009. szeptember 17., 16:00-kori változata

_{Matematika A3a 2009}

Ívhosszparaméter és görbület

A görbület adott pontban független a koordinátarendszer választásától. Ezt például az is mutatja, hogy egy általános paraméterezésben felírt értékén

$G(t)=\frac{|\dot{\mathbf{r}}\times\ddot\mathbf{r}|}{|\dot{\mathbf{r}}|^3 }\,$

túl a koordinátarendszerfüggetlen ívhosszpraméterezésben is kifejezhető a nagysága:

$G(s)=|\mathbf{r}''(s)|$

(0. Feladat Térjünk át az alábbi görbénél ívhosszparaméterezésre!

$\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix}\cos^3 t\\\sin^3 t\\ \cos 2t \end{bmatrix}$ ahol $t\in[0,\pi/2]$ )

1. Feladat Térjünk át az alábbi görbénél ívhosszparaméterezésre és számítsuk ki a görbületét!

$\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix}\cos t^2\\\sin t^2\\ t^2 \end{bmatrix}$ ahol $t\in[0,\pi/2]$

Mo.

$\dot\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix} -2\sin(t)t\\ 2\cos(t)t \\ 2t \end{bmatrix}$ , $(\dot\mathbf{r}(t))^2=8t^2$

$s(t)=\int\limits_0^t\sqrt{8}t'\;\mathrm{d}t'=\frac{\sqrt{8}}{2}t^2$ , $t(s)=\sqrt{\frac{2}{\sqrt{8}}}\sqrt{s}$

$\mathbf{r}(s)=\begin{bmatrix}\cos \frac{1}{\sqrt{2}}s\\\sin \frac{1}{\sqrt{2}}s\\ \frac{1}{\sqrt{2}}s \end{bmatrix}$ , $\mathbf{r}'(s)=\begin{bmatrix}-\frac{1}{\sqrt{2}}\sin \frac{1}{\sqrt{2}}s\\\frac{1}{\sqrt{2}}\cos \frac{1}{\sqrt{2}}s\\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$ , $\mathbf{r}''(s)=\begin{bmatrix}-\frac{1}{2}\cos \frac{1}{\sqrt{2}}s\\-\frac{1}{2}\sin \frac{1}{\sqrt{2}}s\\ 0 \end{bmatrix}$

2. Feladat

$\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix}\cos t\\\sin t\\ bt\end{bmatrix}$

Határozzuk meg a görbesereg egy-egy görbéjének görbületét a b paraméter függvényében. Térjünk át ívhossz paraméterezésre!

Kísérő triéder

3. Feladat A t paraméter mely értékére párhuzamos az

$\dot\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix} e^{2t}\\ 2e^t \\ t \end{bmatrix}$

görbe simulósíkja az

$5-x=1-y=-2z\,$

egyenletű egyenessel?

4. Feladat Határozzuk meg az

$x^2+y^2+z^2=3,\;\;2x+y=3$

egyenletekkel megadott implicit megadású görbe kísérő triéderét a P=(1,1,1) pontban!

@@ 30. sor: / 30. sor: @@
 == Kísérő triéder ==
-'''3. Feladat''' A ''t' paraméter mely értékére párhuzamos az
+'''3. Feladat''' A ''t'' paraméter mely értékére párhuzamos az
 :<math>\dot\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix} e^{2t}\\ 2e^t \\ t \end{bmatrix}</math>
 görbe simulósíkja az

Matematika A3a 2009/2. gyakorlat

A lap 2009. szeptember 17., 16:00-kori változata

Ívhosszparaméter és görbület

Kísérő triéder

Nézetek

Személyes eszközök

Navigáció

Keresés

Eszközök