Matematika A3a 2009/2. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Kísérő triéder) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Felületek) |
||
64. sor: | 64. sor: | ||
b) <math>x^2+z^2=y^4\,</math> | b) <math>x^2+z^2=y^4\,</math> | ||
− | :<math>\mathbf{r}(u, | + | :<math>\mathbf{r}(u,y)=\begin{bmatrix} y^2\cos u\\ y\\ y^2\sin u \end{bmatrix}</math> |
+ | <!-- | ||
+ | c) Kúppalást. | ||
+ | :<math>\mathbf{r}(u,z)=\begin{bmatrix} z\cos u\\ z\sin u\\ z \end{bmatrix}</math> | ||
+ | :<math>\frac{\partial\mathbf{r}(u,z)}{\partial u}=\begin{bmatrix} -z\sin u\\ z\cos u\\ z \end{bmatrix}</math>, <math>\frac{\partial\mathbf{r}(u,v)}{\partial z}=\begin{bmatrix} \cos u\\ \sin u\\ 1 \end{bmatrix}</math> | ||
+ | :<math>\begin{bmatrix} -z\sin u\\ z\cos u\\ z \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} \cos u\\ \sin u\\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} z(\cos u+\sin u)\\ z(\cos u+\sin u)\\ -z\end{bmatrix}</math> | ||
+ | :hossza <math>= |z|\sqrt{4\cos\sin+3}=|z|\sqrt{3+2\sin 2u}</math>--> | ||
'''6. Feladat''' Mely pontokban párhuzamosak ill. merőlegesek az | '''6. Feladat''' Mely pontokban párhuzamosak ill. merőlegesek az |
A lap 2009. szeptember 17., 21:28-kori változata
Ívhosszparaméter és görbület
A görbület adott pontban független a koordinátarendszer választásától. Ezt például az is mutatja, hogy egy általános paraméterezésben felírt értékén
túl a koordinátarendszerfüggetlen ívhosszpraméterezésben is kifejezhető a nagysága:
(0. Feladat Térjünk át az alábbi görbénél ívhosszparaméterezésre!
- ahol )
1. Feladat Térjünk át az alábbi görbénél ívhosszparaméterezésre és számítsuk ki a görbületét!
- ahol
- Mo.
- ,
- ,
- , ,
2. Feladat
Határozzuk meg a görbesereg egy-egy görbéjének görbületét a b paraméter függvényében. Térjünk át ívhossz paraméterezésre!
Kísérő triéder
3. Feladat A t paraméter mely értékére párhuzamos az
görbe simulósíkja az
egyenletű egyenessel?
Mo.
- , ,
a simulósík normálvektora. Ez merőleges a (1,1,1/2) --> (2,2,1)-re
- ,
4. Feladat Határozzuk meg az
egyenletekkel megadott implicit megadású görbe kísérő triéderét a P=(1,1,1) pontban!
Mo.
- x2 + (3 − 2x)2 + z2 = 3
- z2 = 3 − x2 − (3 − 2x)2
- , ,
- ,
Felületek
5. Feladat. Paraméterezzük a z ill. az y tengely körül körbeforgatott z = y2 parabola által kirajzolt felületet!
Mo. a)
b)
6. Feladat Mely pontokban párhuzamosak ill. merőlegesek az
felület pontbeli "koordinátavonalai" (az ∂r/∂u és ∂r/∂v vektorok)?
7. Feladat. Mely pontokban párhuzamos az xyz=1 egyenletű felület érintősíkja az x+y+z=5 síkkal?