Matematika A3a 2009/2. gyakorlat

A MathWikiből

(Változatok közti eltérés)

A lap 2009. szeptember 17., 15:05-kori változata

_{Matematika A3a 2009}

Ívhosszparaméter és görbület

A görbület adott pontban független a koordinátarendszer választásától. Ezt például az is mutatja, hogy egy általános paraméterezésben felírt értékén

$G(t)=\frac{|\dot{\mathbf{r}}\times\ddot\mathbf{r}|}{|\dot{\mathbf{r}}|^3 }\,$

túl a koordinátarendszerfüggetlen ívhosszpraméterezésben is kifejezhető a nagysága:

$G(s)=|\mathbf{r}''(s)|$

1. Feladat Térjünk át az alábbi görbénél ívhosszparaméterezésre!

$\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix}\cos^3 t\\\sin^3 t\\ \cos 2t \end{bmatrix}$ ahol $t\in[0,\pi/2]$

Mo.

$\dot\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix} -3\cos^2 t\sin t\\ 3\sin^2 \cos t\\ -2\sin 2t \end{bmatrix}$

$\dot\mathbf{r}(t)^2=\sin^2 t\cos^2 t (9\cos^2 t+ 9\sin^2 + 4)$

$s(t)=\int\limits_0^t\frac{\sqrt{13}}{2}|\sin 2t'|\;\mathrm{d}t'=\frac{\sqrt{13}}{4}(\cos(2t)-1)$

$t(s)=\frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4}{13}s+1)$

$\mathbf{r}(s)=\begin{bmatrix}\cos^3 \frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4}{13}s+1)\\\sin^3 \frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4}{13}s+1)\\ \cos 2\frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4}{13}s+1) \end{bmatrix}$ ahol $s\in[0,\frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4\pi}{26}+1)]$

2. Feladat

@@ 6. sor: / 6. sor: @@
 :<math>G(s)=|\mathbf{r}''(s)|</math>
-'''1. Feladat''' Térjünk át az alábbi görbénél ívhosszparaméterezésre és határozzuk meg a görbületet!
+'''1. Feladat''' Térjünk át az alábbi görbénél ívhosszparaméterezésre!
-:<math>\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix}\cos^3 t\\\sin^3 t\\ \cos 2t \end{bmatrix}</math> ahol <math>t\in[0,2\pi]</math>
+:<math>\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix}\cos^3 t\\\sin^3 t\\ \cos 2t \end{bmatrix}</math> ahol <math>t\in[0,\pi/2]</math>
 :''Mo.''
-:<math>\dot\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix} -3\cos^2 t\sin t\\ 3\sin^2 \cos t\\ -2\sin 2t \end{bmatrix}</math> ahol <math>t\in[0,2\pi]</math>
+:<math>\dot\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix} -3\cos^2 t\sin t\\ 3\sin^2 \cos t\\ -2\sin 2t \end{bmatrix}</math>
+:<math>\dot\mathbf{r}(t)^2=\sin^2 t\cos^2 t (9\cos^2 t+ 9\sin^2 + 4)</math>
+:<math>s(t)=\int\limits_0^t\frac{\sqrt{13}}{2}|\sin 2t'|\;\mathrm{d}t'=\frac{\sqrt{13}}{4}(\cos(2t)-1)</math>
+:<math>t(s)=\frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4}{13}s+1)</math>
+:<math>\mathbf{r}(s)=\begin{bmatrix}\cos^3 \frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4}{13}s+1)\\\sin^3 \frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4}{13}s+1)\\ \cos 2\frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4}{13}s+1) \end{bmatrix}</math> ahol <math>s\in[0,\frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4\pi}{26}+1)]</math>
+'''2. Feladat'''

Matematika A3a 2009/2. gyakorlat

A lap 2009. szeptember 17., 15:05-kori változata

Ívhosszparaméter és görbület

Nézetek

Személyes eszközök

Navigáció

Keresés

Eszközök