Matematika A3a 2009/2. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Felületek) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Ívhosszparaméter és görbület) |
||
9. sor: | 9. sor: | ||
('''0. Feladat''' Térjünk át az alábbi görbénél ívhosszparaméterezésre! | ('''0. Feladat''' Térjünk át az alábbi görbénél ívhosszparaméterezésre! | ||
:<math>\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix}\cos^3 t\\\sin^3 t\\ \cos 2t \end{bmatrix}</math> ahol <math>t\in[0,\pi/2]</math>) | :<math>\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix}\cos^3 t\\\sin^3 t\\ \cos 2t \end{bmatrix}</math> ahol <math>t\in[0,\pi/2]</math>) | ||
− | + | ||
:''Mo.'' | :''Mo.'' | ||
:<math>\dot\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix} -3\cos^2 t\sin t\\ 3\sin^2 \cos t\\ -2\sin 2t \end{bmatrix}</math> | :<math>\dot\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix} -3\cos^2 t\sin t\\ 3\sin^2 \cos t\\ -2\sin 2t \end{bmatrix}</math> | ||
15. sor: | 15. sor: | ||
:<math>s(t)=\int\limits_0^t\frac{\sqrt{13}}{2}|\sin 2t'|\;\mathrm{d}t'=\frac{\sqrt{13}}{4}(\cos(2t)-1)</math> | :<math>s(t)=\int\limits_0^t\frac{\sqrt{13}}{2}|\sin 2t'|\;\mathrm{d}t'=\frac{\sqrt{13}}{4}(\cos(2t)-1)</math> | ||
:<math>t(s)=\frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4}{13}s+1)</math> | :<math>t(s)=\frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4}{13}s+1)</math> | ||
− | :<math>\mathbf{r}(s)=\begin{bmatrix}\cos^3 \frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4}{13}s+1)\\\sin^3 \frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4}{13}s+1)\\ \cos 2\frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4}{13}s+1) \end{bmatrix}</math> ahol <math>s\in[0,\frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4\pi}{26}+1)]</math | + | :<math>\mathbf{r}(s)=\begin{bmatrix}\cos^3 \frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4}{13}s+1)\\\sin^3 \frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4}{13}s+1)\\ \cos 2\frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4}{13}s+1) \end{bmatrix}</math> ahol <math>s\in[0,\frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4\pi}{26}+1)]</math> |
'''1. Feladat''' Térjünk át az alábbi görbénél ívhosszparaméterezésre és számítsuk ki a görbületét! | '''1. Feladat''' Térjünk át az alábbi görbénél ívhosszparaméterezésre és számítsuk ki a görbületét! |
A lap jelenlegi, 2009. szeptember 17., 22:29-kori változata
Ívhosszparaméter és görbület
A görbület adott pontban független a koordinátarendszer választásától. Ezt például az is mutatja, hogy egy általános paraméterezésben felírt értékén
túl a koordinátarendszerfüggetlen ívhosszpraméterezésben is kifejezhető a nagysága:
(0. Feladat Térjünk át az alábbi görbénél ívhosszparaméterezésre!
- ahol )
- Mo.
- ahol
1. Feladat Térjünk át az alábbi görbénél ívhosszparaméterezésre és számítsuk ki a görbületét!
- ahol
- Mo.
- ,
- ,
- , ,
2. Feladat
Határozzuk meg a görbesereg egy-egy görbéjének görbületét a b paraméter függvényében. Térjünk át ívhossz paraméterezésre!
Kísérő triéder
3. Feladat A t paraméter mely értékére párhuzamos az
görbe simulósíkja az
egyenletű egyenessel?
Mo.
- , ,
a simulósík normálvektora. Ez merőleges a (1,1,1/2) --> (2,2,1)-re
- ,
4. Feladat Határozzuk meg az
egyenletekkel megadott implicit megadású görbe kísérő triéderét a P=(1,1,1) pontban!
Mo.
- x2 + (3 − 2x)2 + z2 = 3
- z2 = 3 − x2 − (3 − 2x)2
- , ,
- ,
Felületek
5. Feladat. Paraméterezzük a z ill. az y tengely körül körbeforgatott z = y2 parabola által kirajzolt felületet!
Mo. a)
b)
6. Feladat Mely pontokban párhuzamosak ill. merőlegesek az
felület pontbeli "koordinátavonalai" (az ∂r/∂u és ∂r/∂v vektorok)?
7. Feladat. Mely pontokban párhuzamos az xyz=1 egyenletű felület érintősíkja az x+y+z=5 síkkal?