Matematika A3a 2009/2. gyakorlat

_{Matematika A3a 2009}

Ívhosszparaméter és görbület

A görbület adott pontban független a koordinátarendszer választásától. Ezt például az is mutatja, hogy egy általános paraméterezésben felírt értékén

$G(t)=\frac{|\dot{\mathbf{r}}\times\ddot\mathbf{r}|}{|\dot{\mathbf{r}}|^3 }\,$

túl a koordinátarendszerfüggetlen ívhosszpraméterezésben is kifejezhető a nagysága:

$G(s)=|\mathbf{r}''(s)|$

1. Feladat Térjünk át az alábbi görbénél ívhosszparaméterezésre és határozzuk meg a görbületet!

$\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix}\cos^3 t\\\sin^3 t\\ \cos 2t \end{bmatrix}$ ahol $t\in[0,2\pi]$

Mo.

$\dot\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix} -3\cos^2 t\sin t\\ 3\sin^2 \cos t\\ -2\sin 2t \end{bmatrix}$ ahol $t\in[0,2\pi]$