Matematika A3a 2009/2. gyakorlat

A MathWikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Mozo (vitalap | szerkesztései) 2009. szeptember 17., 21:29-kor történt szerkesztése után volt.
(eltér) ←Régebbi változat | Aktuális változat (eltér) | Újabb változat→ (eltér)
Matematika A3a 2009

Ívhosszparaméter és görbület

A görbület adott pontban független a koordinátarendszer választásától. Ezt például az is mutatja, hogy egy általános paraméterezésben felírt értékén

G(t)=\frac{|\dot{\mathbf{r}}\times\ddot\mathbf{r}|}{|\dot{\mathbf{r}}|^3 }\,

túl a koordinátarendszerfüggetlen ívhosszpraméterezésben is kifejezhető a nagysága:

G(s)=|\mathbf{r}''(s)|


(0. Feladat Térjünk át az alábbi görbénél ívhosszparaméterezésre!

\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix}\cos^3 t\\\sin^3 t\\ \cos 2t \end{bmatrix} ahol t\in[0,\pi/2])
Mo.
\dot\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix} -3\cos^2 t\sin t\\ 3\sin^2 \cos t\\ -2\sin 2t \end{bmatrix}
\dot\mathbf{r}(t)^2=\sin^2 t\cos^2 t (9\cos^2 t+ 9\sin^2 + 4)
s(t)=\int\limits_0^t\frac{\sqrt{13}}{2}|\sin 2t'|\;\mathrm{d}t'=\frac{\sqrt{13}}{4}(\cos(2t)-1)
t(s)=\frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4}{13}s+1)
\mathbf{r}(s)=\begin{bmatrix}\cos^3 \frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4}{13}s+1)\\\sin^3 \frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4}{13}s+1)\\ \cos 2\frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4}{13}s+1) \end{bmatrix} ahol s\in[0,\frac{1}{2}\mathrm{arccos}(\frac{4\pi}{26}+1)]

1. Feladat Térjünk át az alábbi görbénél ívhosszparaméterezésre és számítsuk ki a görbületét!

\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix}\cos t^2\\\sin t^2\\ t^2 \end{bmatrix} ahol t\in[0,\pi/2]
Mo.
\dot\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix} -2\sin(t)t\\ 2\cos(t)t \\ 2t \end{bmatrix}, (\dot\mathbf{r}(t))^2=8t^2
s(t)=\int\limits_0^t\sqrt{8}t'\;\mathrm{d}t'=\frac{\sqrt{8}}{2}t^2, t(s)=\sqrt{\frac{2}{\sqrt{8}}}\sqrt{s}
\mathbf{r}(s)=\begin{bmatrix}\cos \frac{1}{\sqrt{2}}s\\\sin \frac{1}{\sqrt{2}}s\\ \frac{1}{\sqrt{2}}s \end{bmatrix}, \mathbf{r}'(s)=\begin{bmatrix}-\frac{1}{\sqrt{2}}\sin \frac{1}{\sqrt{2}}s\\\frac{1}{\sqrt{2}}\cos \frac{1}{\sqrt{2}}s\\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}, \mathbf{r}''(s)=\begin{bmatrix}-\frac{1}{2}\cos \frac{1}{\sqrt{2}}s\\-\frac{1}{2}\sin \frac{1}{\sqrt{2}}s\\ 0 \end{bmatrix}

2. Feladat

\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix}\cos t\\\sin t\\ bt\end{bmatrix}

Határozzuk meg a görbesereg egy-egy görbéjének görbületét a b paraméter függvényében. Térjünk át ívhossz paraméterezésre!

Kísérő triéder

3. Feladat A t paraméter mely értékére párhuzamos az

\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix} e^{2t}\\ 2e^t \\ t \end{bmatrix}

görbe simulósíkja az

5-x=1-y=-2z\,

egyenletű egyenessel?

Mo.

\dot\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix} 2e^{2t}\\ 2e^t \\ 1 \end{bmatrix}, \ddot\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix} 4e^{2t}\\ 2e^t \\ 0 \end{bmatrix}, \mathbf{b}=\dot\mathbf{r}\times\ddot\mathbf{r}=\begin{bmatrix} 2e^{2t}\\ 2e^t \\ 1 \end{bmatrix}\times\begin{bmatrix} 4e^{2t}\\ 2e^t \\ 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2e^{2t}\\ 4e^{2t} \\ -4e^{3t} \end{bmatrix}

a simulósík normálvektora. Ez merőleges a (1,1,1/2) --> (2,2,1)-re

-4e^{2t}+8e^{2t}-4e^{3t}=0\,
1-e^{t}=0\,, t=0\,


4. Feladat Határozzuk meg az

x^2+y^2+z^2=3,\;\;2x+y=3

egyenletekkel megadott implicit megadású görbe kísérő triéderét a P=(1,1,1) pontban!

Mo.

x2 + (3 − 2x)2 + z2 = 3
z2 = 3 − x2 − (3 − 2x)2
\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix} t\\ 3-2t\\ \sqrt{3-x^2-(3-2x)^2} \end{bmatrix}, \dot\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix} 1\\ -2\\ \sqrt{3-x^2-(3-2x)^2} \end{bmatrix}|=\begin{bmatrix} 1\\ -2\\1 \end{bmatrix},
2zz'=-2x+2(3-2x)=\,-4x+6, z'=\left.\frac{-4x+6}{2z}\right|=1

Felületek

5. Feladat. Paraméterezzük a z ill. az y tengely körül körbeforgatott z = y2 parabola által kirajzolt felületet!

Mo. a) x^2+y^2=z\,

\mathbf{r}(u,v)=\begin{bmatrix} \sqrt{z}\cos u\\ \sqrt{z}\sin u\\ z \end{bmatrix}

b) x^2+z^2=y^4\,

\mathbf{r}(u,y)=\begin{bmatrix} y^2\cos u\\ y\\ y^2\sin u \end{bmatrix}

6. Feladat Mely pontokban párhuzamosak ill. merőlegesek az

\mathbf{r}(u,v)=(u^2+v^2)\mathbf{i}+uv\mathbf{j}+\cos u\cos v\mathbf{k}\,

felület pontbeli "koordinátavonalai" (az ∂r/∂u és ∂r/∂v vektorok)?

7. Feladat. Mely pontokban párhuzamos az xyz=1 egyenletű felület érintősíkja az x+y+z=5 síkkal?

Személyes eszközök