Matematika A3a 2009/3. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
 
(Görbementi integrál)
1. sor: 1. sor:
 
:''<sub>[[Matematika A3a 2009]]</sub>''
 
:''<sub>[[Matematika A3a 2009]]</sub>''
 
==Görbementi integrál==
 
==Görbementi integrál==
 +
 +
A '''v''' = '''v'''('''r''') vektormező integrálja az '''r''' = '''r'''(''t''), <math>t</math>=<math>t_1 ... t_2</math> görbe mentén a következő szám, ha létezik:
 +
 +
:<math>\int\limits_G\mathbf{v}\;\mathrm{d}r=\lim\limits_{|\Delta \mathbf{r}|\to 0,\;N\to \infty}\sum\limits_{i=1}^{N}\mathbf{v}(\mathbf{r}_i)\cdot\Delta \mathbf{r}_i</math>
 +
ahol az '''r'''<sub>i</sub> pontokat a görbén "libasorban" vettük föl.
 +
 +
A vonalintegrál kiszámítását a következőképpen tehetjük:
 +
:<math>\int\limits_{G,\mathbf{r}_1}^{\mathbf{r}_2}\mathbf{v}\;\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{t_1}^{t_2}\mathbf{v}(\mathbf{r}(t))\cdot\dot\mathbf{r}(t)\,\mathrm{d}t</math>
 +
ahol '''r'''<sub>1</sub> = '''r'''(''t''<sub>1</sub>), '''r'''<sub>2</sub> = '''r'''(''t''<sub>2</sub>).
 +
 +
Olyan kiszámítási mód is van, melyben nem lesz szükségünk a paraméterezésre:
 +
 +
:<math>\int\limits_{G}\mathbf{v}\;\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{G}\mathbf{v}_e\,|\mathrm{d}\mathbf{r}|</math>
 +
ahol '''v'''<sub>e</sub> a vektormezőnek a görbe érintője irányú komponense, az integrál pedig a vektormező ívhossz szerinti integrálja, az az integrandusban az ívhossz kiszámító képletekben egy skalárszorzót, a '''v'''<sub>e</sub>-t is szerepeltetünk.
 +
 +
:<math>\int\limits_{G}\mathbf{v}\;\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{G}|\mathbf{v}|\,|\mathrm{d}\mathbf{r}_e|</math>
 +
Itt a vektor mező irányú elmozdulásokat vesszük csak figyelembe.
 +
 +
'''1. Feladat.''' Számítsuk ki az alábbi vektormezőnek az A=(1,-2,3), B=(2,1,4) végpontú egyenes szakaszra vonatkozó integrálját!
 +
 +
:<math>\mathbf{v}(x,y,z)=(y+z)\mathbf{i}+(x+z)\mathbf{j}+(x+y)\mathbf{k}\,</math>
 +
 +
'''2. Feladat.''' Ugyannennek a vektormezőnek az
 +
:<math>\mathbf{r}(t)=\sin^2 t \,\mathbf{i}+\sin(2t)\,\mathbf{j}+\cos^2 t\mathbf{k},\;t\in[0,\pi]</math>
 +
görbére vett integrálját!
 +
 +
''Mo.''
 +
:<math>\dot\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix}2\sin t\cos t\\2\cos(2t)\\-2\cos t\sin t\end{bmatrix}</math>
 +
:<math>\int\limits_{G}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=</math>
 +
:<math>=\int_0^\pi\sin^2(2t)+\cos^2t\sin(2t)+2\cos(2t)-\sin^2t\sin(2t)-\sin^2(2t)\,\mathrm{d}t=</math>
 +
:<math>=\int_0^\pi\frac{1}{2}\cos(4t)+2\cos(2t)\,\mathrm{d}t=0</math>
 +
 +
'''3. Feladat.''' Számítsuk ki a '''v''' = '''k''' &times; '''r''' függvénynek az R sugarú, [x,y] síkbeli origó középpontú körre vonatkozó integrálját!
 +
 +
'''4. Feladat.''' Számítsuk ki a '''v''' = '''k''' &times; '''r''' / |'''r'''| függvénynek az R sugarú, [x,y] síkbeli origó közép vetületű, M menetemelkedésű  integrálját!

A lap 2009. szeptember 24., 21:02-kori változata

Matematika A3a 2009

Görbementi integrál

A v = v(r) vektormező integrálja az r = r(t), t=t1...t2 görbe mentén a következő szám, ha létezik:

\int\limits_G\mathbf{v}\;\mathrm{d}r=\lim\limits_{|\Delta \mathbf{r}|\to 0,\;N\to \infty}\sum\limits_{i=1}^{N}\mathbf{v}(\mathbf{r}_i)\cdot\Delta \mathbf{r}_i

ahol az ri pontokat a görbén "libasorban" vettük föl.

A vonalintegrál kiszámítását a következőképpen tehetjük:

\int\limits_{G,\mathbf{r}_1}^{\mathbf{r}_2}\mathbf{v}\;\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{t_1}^{t_2}\mathbf{v}(\mathbf{r}(t))\cdot\dot\mathbf{r}(t)\,\mathrm{d}t

ahol r1 = r(t1), r2 = r(t2).

Olyan kiszámítási mód is van, melyben nem lesz szükségünk a paraméterezésre:

\int\limits_{G}\mathbf{v}\;\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{G}\mathbf{v}_e\,|\mathrm{d}\mathbf{r}|

ahol ve a vektormezőnek a görbe érintője irányú komponense, az integrál pedig a vektormező ívhossz szerinti integrálja, az az integrandusban az ívhossz kiszámító képletekben egy skalárszorzót, a ve-t is szerepeltetünk.

\int\limits_{G}\mathbf{v}\;\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{G}|\mathbf{v}|\,|\mathrm{d}\mathbf{r}_e|

Itt a vektor mező irányú elmozdulásokat vesszük csak figyelembe.

1. Feladat. Számítsuk ki az alábbi vektormezőnek az A=(1,-2,3), B=(2,1,4) végpontú egyenes szakaszra vonatkozó integrálját!

\mathbf{v}(x,y,z)=(y+z)\mathbf{i}+(x+z)\mathbf{j}+(x+y)\mathbf{k}\,

2. Feladat. Ugyannennek a vektormezőnek az

\mathbf{r}(t)=\sin^2 t \,\mathbf{i}+\sin(2t)\,\mathbf{j}+\cos^2 t\mathbf{k},\;t\in[0,\pi]

görbére vett integrálját!

Mo.

\dot\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix}2\sin t\cos t\\2\cos(2t)\\-2\cos t\sin t\end{bmatrix}
\int\limits_{G}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=
=\int_0^\pi\sin^2(2t)+\cos^2t\sin(2t)+2\cos(2t)-\sin^2t\sin(2t)-\sin^2(2t)\,\mathrm{d}t=
=\int_0^\pi\frac{1}{2}\cos(4t)+2\cos(2t)\,\mathrm{d}t=0

3. Feladat. Számítsuk ki a v = k × r függvénynek az R sugarú, [x,y] síkbeli origó középpontú körre vonatkozó integrálját!

4. Feladat. Számítsuk ki a v = k × r / |r| függvénynek az R sugarú, [x,y] síkbeli origó közép vetületű, M menetemelkedésű integrálját!

Személyes eszközök