Matematika A3a 2009/3. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Görbementi integrál)
(Görbementi integrál)
 
(egy szerkesztő 3 közbeeső változata nincs mutatva)
5. sor: 5. sor:
  
 
:<math>\int\limits_G\mathbf{v}\;\mathrm{d}r=\lim\limits_{|\Delta \mathbf{r}|\to 0,\;N\to \infty}\sum\limits_{i=1}^{N}\mathbf{v}(\mathbf{r}_i)\cdot\Delta \mathbf{r}_i</math>
 
:<math>\int\limits_G\mathbf{v}\;\mathrm{d}r=\lim\limits_{|\Delta \mathbf{r}|\to 0,\;N\to \infty}\sum\limits_{i=1}^{N}\mathbf{v}(\mathbf{r}_i)\cdot\Delta \mathbf{r}_i</math>
ahol az '''r'''<sub>i</sub> pontokat a görbén "libasorban" vettük föl.
+
ahol az '''r'''<sub>i</sub> pontokat a görbén "libasorban" vettük föl. A vonalintegrál kiszámítását a következőképpen tehetjük:
 
+
A vonalintegrál kiszámítását a következőképpen tehetjük:
+
 
:<math>\int\limits_{G,\mathbf{r}_1}^{\mathbf{r}_2}\mathbf{v}\;\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{t_1}^{t_2}\mathbf{v}(\mathbf{r}(t))\cdot\dot\mathbf{r}(t)\,\mathrm{d}t</math>
 
:<math>\int\limits_{G,\mathbf{r}_1}^{\mathbf{r}_2}\mathbf{v}\;\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{t_1}^{t_2}\mathbf{v}(\mathbf{r}(t))\cdot\dot\mathbf{r}(t)\,\mathrm{d}t</math>
ahol '''r'''<sub>1</sub> = '''r'''(''t''<sub>1</sub>), '''r'''<sub>2</sub> = '''r'''(''t''<sub>2</sub>).
+
ahol '''r'''<sub>1</sub> = '''r'''(''t''<sub>1</sub>), '''r'''<sub>2</sub> = '''r'''(''t''<sub>2</sub>). Olyan kiszámítási mód is van, melyben nem lesz szükségünk a paraméterezésre:
 
+
Olyan kiszámítási mód is van, melyben nem lesz szükségünk a paraméterezésre:
+
 
+
 
:<math>\int\limits_{G}\mathbf{v}\;\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{G}\mathbf{v}_e\,|\mathrm{d}\mathbf{r}|</math>
 
:<math>\int\limits_{G}\mathbf{v}\;\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{G}\mathbf{v}_e\,|\mathrm{d}\mathbf{r}|</math>
 
ahol '''v'''<sub>e</sub> a vektormezőnek a görbe érintője irányú komponense, az integrál pedig a vektormező ívhossz szerinti integrálja, az az integrandusban az ívhossz kiszámító képletekben egy skalárszorzót, a '''v'''<sub>e</sub>-t is szerepeltetünk.
 
ahol '''v'''<sub>e</sub> a vektormezőnek a görbe érintője irányú komponense, az integrál pedig a vektormező ívhossz szerinti integrálja, az az integrandusban az ívhossz kiszámító képletekben egy skalárszorzót, a '''v'''<sub>e</sub>-t is szerepeltetünk.
34. sor: 29. sor:
 
'''3. Feladat.''' Számítsuk ki a '''v''' = '''k''' &times; '''r''' függvénynek az R sugarú, [x,y] síkbeli origó középpontú körre vonatkozó integrálját!
 
'''3. Feladat.''' Számítsuk ki a '''v''' = '''k''' &times; '''r''' függvénynek az R sugarú, [x,y] síkbeli origó középpontú körre vonatkozó integrálját!
 
   
 
   
'''4. Feladat.''' Számítsuk ki a '''v''' = '''k''' &times; '''r''' / |'''r'''| függvénynek az R sugarú, [x,y] síkbeli origó közép vetületű, M menetemelkedésű  integrálját!
+
'''4. Feladat.''' Számítsuk ki a '''v''' = '''k''' &times; '''r''' / |'''k''' &times; '''r'''|<sup>2</sup> függvénynek az R sugarú, [x,y] síkbeli origó közép vetületű, M menetemelkedésű  integrálját!
  
 
==Felületi integrál==
 
==Felületi integrál==
43. sor: 38. sor:
 
felszín integrállal a normális irányú komponensből.
 
felszín integrállal a normális irányú komponensből.
 
   
 
   
'''5. Feladat.''' Számítsuk ki a
+
'''5. Feladat.''' Számítsuk ki a '''v''' vektormezőnek az '''r''' felületre vett integrálját:
 
:<math>\mathbf{v}(x,y,z)=x\mathbf{i}-y\mathbf{j}+z\mathbf{k}\,</math>
 
:<math>\mathbf{v}(x,y,z)=x\mathbf{i}-y\mathbf{j}+z\mathbf{k}\,</math>
vektormezőnek a
 
 
:<math>\mathbf{r}(u,v)=(u+2v)\mathbf{i}+v\mathbf{j}+(u-v)\mathbf{k},\;u\in[0,3], \;v\in[0,1]</math>
 
:<math>\mathbf{r}(u,v)=(u+2v)\mathbf{i}+v\mathbf{j}+(u-v)\mathbf{k},\;u\in[0,3], \;v\in[0,1]</math>
  
 
'''6. Feladat.''' Számítsuk ki az '''v''' = '''r'''-nek az R sugarú, M magasságú, z tengelyű hengerre vonatkozó felületi integrálját!
 
'''6. Feladat.''' Számítsuk ki az '''v''' = '''r'''-nek az R sugarú, M magasságú, z tengelyű hengerre vonatkozó felületi integrálját!
  
'''7. Feladat.''' Számítsuk ki az R sugarú origó középponttú gömbfelszín első nyolcadba eső felületére az '''v''' = '''r'''|'''r'''|<sup>3</sup> integrálját!
+
'''7. Feladat.''' Számítsuk ki az R sugarú origó középpontú gömbfelszín első nyolcadba eső felületére az '''v''' = '''r'''|'''r'''|<sup>3</sup> integrálját!
  
 
==Utak homotópiája==
 
==Utak homotópiája==
  
 
'''8. Feladat.''' Igazoljuk, hogy a "''t'' út homotóp az ''s''-sel" ekvivalencia reláció!
 
'''8. Feladat.''' Igazoljuk, hogy a "''t'' út homotóp az ''s''-sel" ekvivalencia reláció!

A lap jelenlegi, 2009. szeptember 25., 12:33-kori változata

Matematika A3a 2009

Görbementi integrál

A v = v(r) vektormező integrálja az r = r(t), t=t1...t2 görbe mentén a következő szám, ha létezik:

\int\limits_G\mathbf{v}\;\mathrm{d}r=\lim\limits_{|\Delta \mathbf{r}|\to 0,\;N\to \infty}\sum\limits_{i=1}^{N}\mathbf{v}(\mathbf{r}_i)\cdot\Delta \mathbf{r}_i

ahol az ri pontokat a görbén "libasorban" vettük föl. A vonalintegrál kiszámítását a következőképpen tehetjük:

\int\limits_{G,\mathbf{r}_1}^{\mathbf{r}_2}\mathbf{v}\;\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{t_1}^{t_2}\mathbf{v}(\mathbf{r}(t))\cdot\dot\mathbf{r}(t)\,\mathrm{d}t

ahol r1 = r(t1), r2 = r(t2). Olyan kiszámítási mód is van, melyben nem lesz szükségünk a paraméterezésre:

\int\limits_{G}\mathbf{v}\;\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{G}\mathbf{v}_e\,|\mathrm{d}\mathbf{r}|

ahol ve a vektormezőnek a görbe érintője irányú komponense, az integrál pedig a vektormező ívhossz szerinti integrálja, az az integrandusban az ívhossz kiszámító képletekben egy skalárszorzót, a ve-t is szerepeltetünk.

\int\limits_{G}\mathbf{v}\;\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{G}|\mathbf{v}|\,|\mathrm{d}\mathbf{r}_e|

Itt a vektor mező irányú elmozdulásokat vesszük csak figyelembe.

1. Feladat. Számítsuk ki az alábbi vektormezőnek az A=(1,-2,3), B=(2,1,4) végpontú egyenes szakaszra vonatkozó integrálját!

\mathbf{v}(x,y,z)=(y+z)\mathbf{i}+(x+z)\mathbf{j}+(x+y)\mathbf{k}\,

2. Feladat. Ugyannennek a vektormezőnek az

\mathbf{r}(t)=\sin^2 t \,\mathbf{i}+\sin(2t)\,\mathbf{j}+\cos^2 t\mathbf{k},\;t\in[0,\pi]

görbére vett integrálját!

Mo.

\dot\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix}2\sin t\cos t\\2\cos(2t)\\-2\cos t\sin t\end{bmatrix}, \int\limits_{G}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=
=\int_0^\pi\sin^2(2t)+\cos^2t\sin(2t)+2\cos(2t)-\sin^2t\sin(2t)-\sin^2(2t)\,\mathrm{d}t=
=\int_0^\pi\frac{1}{2}\cos(4t)+2\cos(2t)\,\mathrm{d}t=0

3. Feladat. Számítsuk ki a v = k × r függvénynek az R sugarú, [x,y] síkbeli origó középpontú körre vonatkozó integrálját!

4. Feladat. Számítsuk ki a v = k × r / |k × r|2 függvénynek az R sugarú, [x,y] síkbeli origó közép vetületű, M menetemelkedésű integrálját!

Felületi integrál

\int\limits_{F}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{F}=\int\limits_{F_{u,v}}\mathbf{v}(\mathbf{r}(u,v))\left(\frac{\partial \mathbf{r}(u,v)}{\partial u}\times\frac{\partial \mathbf{r}(u,v)}{\partial v}\right)\;\mathrm{d}u\mathrm{d}v
\int\limits_{F}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{F}=\int\limits_{F}|\mathbf{v}_\mathbf{n}|\,|\mathrm{d}\mathbf{F}|

felszín integrállal a normális irányú komponensből.

5. Feladat. Számítsuk ki a v vektormezőnek az r felületre vett integrálját:

\mathbf{v}(x,y,z)=x\mathbf{i}-y\mathbf{j}+z\mathbf{k}\,
\mathbf{r}(u,v)=(u+2v)\mathbf{i}+v\mathbf{j}+(u-v)\mathbf{k},\;u\in[0,3], \;v\in[0,1]

6. Feladat. Számítsuk ki az v = r-nek az R sugarú, M magasságú, z tengelyű hengerre vonatkozó felületi integrálját!

7. Feladat. Számítsuk ki az R sugarú origó középpontú gömbfelszín első nyolcadba eső felületére az v = r|r|3 integrálját!

Utak homotópiája

8. Feladat. Igazoljuk, hogy a "t út homotóp az s-sel" ekvivalencia reláció!

Személyes eszközök