Matematika A3a 2009/3. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Felületi integrál) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Görbementi integrál) |
||
(egy szerkesztő egy közbeeső változata nincs mutatva) | |||
29. sor: | 29. sor: | ||
'''3. Feladat.''' Számítsuk ki a '''v''' = '''k''' × '''r''' függvénynek az R sugarú, [x,y] síkbeli origó középpontú körre vonatkozó integrálját! | '''3. Feladat.''' Számítsuk ki a '''v''' = '''k''' × '''r''' függvénynek az R sugarú, [x,y] síkbeli origó középpontú körre vonatkozó integrálját! | ||
− | '''4. Feladat.''' Számítsuk ki a '''v''' = '''k''' × '''r''' / |'''r'''| függvénynek az R sugarú, [x,y] síkbeli origó közép vetületű, M menetemelkedésű integrálját! | + | '''4. Feladat.''' Számítsuk ki a '''v''' = '''k''' × '''r''' / |'''k''' × '''r'''|<sup>2</sup> függvénynek az R sugarú, [x,y] síkbeli origó közép vetületű, M menetemelkedésű integrálját! |
==Felületi integrál== | ==Felületi integrál== | ||
44. sor: | 44. sor: | ||
'''6. Feladat.''' Számítsuk ki az '''v''' = '''r'''-nek az R sugarú, M magasságú, z tengelyű hengerre vonatkozó felületi integrálját! | '''6. Feladat.''' Számítsuk ki az '''v''' = '''r'''-nek az R sugarú, M magasságú, z tengelyű hengerre vonatkozó felületi integrálját! | ||
− | '''7. Feladat.''' Számítsuk ki az R sugarú origó | + | '''7. Feladat.''' Számítsuk ki az R sugarú origó középpontú gömbfelszín első nyolcadba eső felületére az '''v''' = '''r'''|'''r'''|<sup>3</sup> integrálját! |
==Utak homotópiája== | ==Utak homotópiája== | ||
'''8. Feladat.''' Igazoljuk, hogy a "''t'' út homotóp az ''s''-sel" ekvivalencia reláció! | '''8. Feladat.''' Igazoljuk, hogy a "''t'' út homotóp az ''s''-sel" ekvivalencia reláció! |
A lap jelenlegi, 2009. szeptember 25., 13:33-kori változata
Görbementi integrál
A v = v(r) vektormező integrálja az r = r(t), t=t1...t2 görbe mentén a következő szám, ha létezik:
ahol az ri pontokat a görbén "libasorban" vettük föl. A vonalintegrál kiszámítását a következőképpen tehetjük:
ahol r1 = r(t1), r2 = r(t2). Olyan kiszámítási mód is van, melyben nem lesz szükségünk a paraméterezésre:
ahol ve a vektormezőnek a görbe érintője irányú komponense, az integrál pedig a vektormező ívhossz szerinti integrálja, az az integrandusban az ívhossz kiszámító képletekben egy skalárszorzót, a ve-t is szerepeltetünk.
Itt a vektor mező irányú elmozdulásokat vesszük csak figyelembe.
1. Feladat. Számítsuk ki az alábbi vektormezőnek az A=(1,-2,3), B=(2,1,4) végpontú egyenes szakaszra vonatkozó integrálját!
2. Feladat. Ugyannennek a vektormezőnek az
görbére vett integrálját!
Mo.
- ,
3. Feladat. Számítsuk ki a v = k × r függvénynek az R sugarú, [x,y] síkbeli origó középpontú körre vonatkozó integrálját!
4. Feladat. Számítsuk ki a v = k × r / |k × r|2 függvénynek az R sugarú, [x,y] síkbeli origó közép vetületű, M menetemelkedésű integrálját!
Felületi integrál
felszín integrállal a normális irányú komponensből.
5. Feladat. Számítsuk ki a v vektormezőnek az r felületre vett integrálját:
6. Feladat. Számítsuk ki az v = r-nek az R sugarú, M magasságú, z tengelyű hengerre vonatkozó felületi integrálját!
7. Feladat. Számítsuk ki az R sugarú origó középpontú gömbfelszín első nyolcadba eső felületére az v = r|r|3 integrálját!
Utak homotópiája
8. Feladat. Igazoljuk, hogy a "t út homotóp az s-sel" ekvivalencia reláció!