Matematika A3a 2009/3. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Görbementi integrál) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Görbementi integrál) |
||
36. sor: | 36. sor: | ||
'''4. Feladat.''' Számítsuk ki a '''v''' = '''k''' × '''r''' / |'''r'''| függvénynek az R sugarú, [x,y] síkbeli origó közép vetületű, M menetemelkedésű integrálját! | '''4. Feladat.''' Számítsuk ki a '''v''' = '''k''' × '''r''' / |'''r'''| függvénynek az R sugarú, [x,y] síkbeli origó közép vetületű, M menetemelkedésű integrálját! | ||
+ | |||
+ | ==Felületi integrál== | ||
+ | |||
+ | :<math>\int\limits_{F}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{F}=\int\limits_{F_{u,v}}\mathbf{v}(\mathbf{r}(u,v))\left(\frac{\partial \mathbf{r}(u,v)}{\partial u}\times\frac{\partial \mathbf{r}(u,v)}{\partial v}\right)\;\mathrm{d}u\mathrm{d}v</math> | ||
+ | |||
+ | :<math>\int\limits_{F}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{F}=\int\limits_{F}|\mathbf{v}_\mathbf{n}|\,|\mathrm{d}\mathbf{F}|</math> | ||
+ | felszín integrállal a normális irányú komponensből. | ||
+ | |||
+ | '''5. Feladat.''' Számítsuk ki a | ||
+ | :<math>\mathbf{v}(x,y,z)=x\mathbf{i}-y\mathbf{j}+z\mathbf{k}\,</math> | ||
+ | vektormezőnek a | ||
+ | :<math>\mathbf{r}(u,v)=(u+2v)\mathbf{i}+v\mathbf{j}+(u-v)\mathbf{k},\;u\in[0,3], \;v\in[0,1]</math> | ||
+ | |||
+ | '''6. Feladat.''' Számítsuk ki az '''v''' = '''r'''-nek az R sugarú, M magasságú, z tengelyű hengerre vonatkozó felületi integrálját! | ||
+ | |||
+ | '''7. Feladat.''' Számítsuk ki az R sugarú orogó középponttú gömbfelszín első nyolcadba eső felületére az '''v''' = '''r'''|'''r'''|<sup>3</sup> integrálját! |
A lap 2009. szeptember 24., 22:17-kori változata
Görbementi integrál
A v = v(r) vektormező integrálja az r = r(t), t=t1...t2 görbe mentén a következő szám, ha létezik:
ahol az ri pontokat a görbén "libasorban" vettük föl.
A vonalintegrál kiszámítását a következőképpen tehetjük:
ahol r1 = r(t1), r2 = r(t2).
Olyan kiszámítási mód is van, melyben nem lesz szükségünk a paraméterezésre:
ahol ve a vektormezőnek a görbe érintője irányú komponense, az integrál pedig a vektormező ívhossz szerinti integrálja, az az integrandusban az ívhossz kiszámító képletekben egy skalárszorzót, a ve-t is szerepeltetünk.
Itt a vektor mező irányú elmozdulásokat vesszük csak figyelembe.
1. Feladat. Számítsuk ki az alábbi vektormezőnek az A=(1,-2,3), B=(2,1,4) végpontú egyenes szakaszra vonatkozó integrálját!
2. Feladat. Ugyannennek a vektormezőnek az
görbére vett integrálját!
Mo.
3. Feladat. Számítsuk ki a v = k × r függvénynek az R sugarú, [x,y] síkbeli origó középpontú körre vonatkozó integrálját!
4. Feladat. Számítsuk ki a v = k × r / |r| függvénynek az R sugarú, [x,y] síkbeli origó közép vetületű, M menetemelkedésű integrálját!
Felületi integrál
felszín integrállal a normális irányú komponensből.
5. Feladat. Számítsuk ki a
vektormezőnek a
6. Feladat. Számítsuk ki az v = r-nek az R sugarú, M magasságú, z tengelyű hengerre vonatkozó felületi integrálját!
7. Feladat. Számítsuk ki az R sugarú orogó középponttú gömbfelszín első nyolcadba eső felületére az v = r|r|3 integrálját!