Matematika A3a 2009/3. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Görbementi integrál) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Felületi integrál) |
||
38. sor: | 38. sor: | ||
felszín integrállal a normális irányú komponensből. | felszín integrállal a normális irányú komponensből. | ||
− | '''5. Feladat.''' Számítsuk ki a | + | '''5. Feladat.''' Számítsuk ki a '''v''' vektormezőnek az '''r''' felületre vett integrálját: |
:<math>\mathbf{v}(x,y,z)=x\mathbf{i}-y\mathbf{j}+z\mathbf{k}\,</math> | :<math>\mathbf{v}(x,y,z)=x\mathbf{i}-y\mathbf{j}+z\mathbf{k}\,</math> | ||
− | |||
:<math>\mathbf{r}(u,v)=(u+2v)\mathbf{i}+v\mathbf{j}+(u-v)\mathbf{k},\;u\in[0,3], \;v\in[0,1]</math> | :<math>\mathbf{r}(u,v)=(u+2v)\mathbf{i}+v\mathbf{j}+(u-v)\mathbf{k},\;u\in[0,3], \;v\in[0,1]</math> | ||
A lap 2009. szeptember 24., 23:00-kori változata
Görbementi integrál
A v = v(r) vektormező integrálja az r = r(t), t=t1...t2 görbe mentén a következő szám, ha létezik:
ahol az ri pontokat a görbén "libasorban" vettük föl. A vonalintegrál kiszámítását a következőképpen tehetjük:
ahol r1 = r(t1), r2 = r(t2). Olyan kiszámítási mód is van, melyben nem lesz szükségünk a paraméterezésre:
ahol ve a vektormezőnek a görbe érintője irányú komponense, az integrál pedig a vektormező ívhossz szerinti integrálja, az az integrandusban az ívhossz kiszámító képletekben egy skalárszorzót, a ve-t is szerepeltetünk.
Itt a vektor mező irányú elmozdulásokat vesszük csak figyelembe.
1. Feladat. Számítsuk ki az alábbi vektormezőnek az A=(1,-2,3), B=(2,1,4) végpontú egyenes szakaszra vonatkozó integrálját!
2. Feladat. Ugyannennek a vektormezőnek az
görbére vett integrálját!
Mo.
- ,
3. Feladat. Számítsuk ki a v = k × r függvénynek az R sugarú, [x,y] síkbeli origó középpontú körre vonatkozó integrálját!
4. Feladat. Számítsuk ki a v = k × r / |r| függvénynek az R sugarú, [x,y] síkbeli origó közép vetületű, M menetemelkedésű integrálját!
Felületi integrál
felszín integrállal a normális irányú komponensből.
5. Feladat. Számítsuk ki a v vektormezőnek az r felületre vett integrálját:
6. Feladat. Számítsuk ki az v = r-nek az R sugarú, M magasságú, z tengelyű hengerre vonatkozó felületi integrálját!
7. Feladat. Számítsuk ki az R sugarú origó középponttú gömbfelszín első nyolcadba eső felületére az v = r|r|3 integrálját!
Utak homotópiája
8. Feladat. Igazoljuk, hogy a "t út homotóp az s-sel" ekvivalencia reláció!