Matematika A3a 2009/4. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Integráltranszformációs (-redukciós) tételek) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Stokes-tétel) |
||
22. sor: | 22. sor: | ||
:<math>\int\limits_{\partial F}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r} = \int\limits_{F}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{F}</math> | :<math>\int\limits_{\partial F}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r} = \int\limits_{F}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{F}</math> | ||
− | '''1.''' | + | '''1.''' |
+ | :<math>\mathbf{v}(x,y,z)=\begin{pmatrix}y+z \\ x+z \\ x+y \end{pmatrix}</math>, <math>\mathbf{r}(t)=\begin{pmatrix}\sin t\\ \cos t \\ 1 \end{pmatrix}</math>, | ||
+ | (irány: t növekedése) | ||
+ | |||
+ | '''2.''' | ||
+ | :<math>\mathbf{v}(x,y,z)=\begin{pmatrix}2y^2+2xy \\ x^2+yx \\z^2\end{pmatrix}</math>, | ||
+ | :<math>(1,0,0), (2,0,0), (1,1,0)</math> háromszög pozitívan ir. | ||
+ | (irány: t növekedése) | ||
+ | |||
+ | '''3.''' | ||
+ | :<math>\mathbf{v}(x,y,z)=\begin{pmatrix}2xy^3 \\ 3x^2y^2 \\3z^3\end{pmatrix}</math>, | ||
+ | :<math>\mathbf{r}(t)=\begin{pmatrix}t\\ 1-t \\ 0 \end{pmatrix}</math>, <math>t\in[0,1]</math> | ||
+ | (irány: t növekedése) |
A lap 2009. október 1., 22:35-kori változata
A differenciáloperátor vektor és skalárinvariánsai
Az, hogy az f: Rn ⊃ Rn leképezés differenciálható az értelmezési tartományának egy u pontjában, definíció szerint azt jelenti, hogy
Itt az A : Rn Rn lineáris leképezés nem más, mint a differenciál operátor, azaz df(u). Természetesen A koordintátafüggetlen, bár egy B bázis választásával A-t mátrixként tudjuk reprezentálni. Értelmes ekkor a det(A)-t és a tr(A)-t (azaz a trace A-t) tekinteni, amik invariáns, azaz koordinátafüggetlen, csak az A-tól függő skalármenyiségek. Ezek a Szernderd bázisban a J Jacobi-mártix determinánsa és főátlójának összege. Konkrétan:
Ha B ortonormált és csak ortonormált báziskora szorítkozunk, akkor értelmes az A transzponáltjáról, szimmetrikus és antiszimmetrikus részéről beszélni. ezen felül, ha f :R3 ⊃ R3 függvény, akkor az antiszimmertikus rész vektoriális szorzat formájában is előáll, azaz
ahol az első tényező a vektorinvariáns, ennek kétszerese a rotáció.
Integráltranszformációs (-redukciós) tételek
Alapséma: a Newton--Leibniz-formula. Adott az M sokaság és a sokaság ∂M pereme. Az v: M M folytonosan differenciálható függvény
- integrálja a határon = a derivált integrálja a peremen
A kérdés, hogy mi a derivált.
- (1. gradiens tétel) ha M görbe, akkor ∂M két pont és ∂f = grad f,
- (Stokes-tétel) ha M felület, akkor ∂M görbe és ∂v = rot v,
- (Gauss--Osztrogradszkíj-tétel) ha M térrész, akkor ∂M felület és ∂v = div v
Stokes-tétel
1.
- , ,
(irány: t növekedése)
2.
- ,
- (1,0,0),(2,0,0),(1,1,0) háromszög pozitívan ir.
(irány: t növekedése)
3.
- ,
- ,
(irány: t növekedése)