Matematika A3a 2009/4. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Integráltranszformációs (-redukciós) tételek) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Stokes-tétel) |
||
(egy szerkesztő egy közbeeső változata nincs mutatva) | |||
22. sor: | 22. sor: | ||
:<math>\int\limits_{\partial F}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r} = \int\limits_{F}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{F}</math> | :<math>\int\limits_{\partial F}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r} = \int\limits_{F}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{F}</math> | ||
− | '''1.''' | + | '''1.''' |
+ | :<math>\mathbf{v}(x,y,z)=\begin{pmatrix}y+z \\ x+z \\ x+y \end{pmatrix}</math>, <math>\mathbf{r}(t)=\begin{pmatrix}\sin t\\ \cos t \\ 1 \end{pmatrix}</math>, | ||
+ | (irány: t növekedése) | ||
+ | |||
+ | '''2.''' | ||
+ | :<math>\mathbf{v}(x,y,z)=\begin{pmatrix}2y^2+2xy \\ x^2+yx \\z^2\end{pmatrix}</math>, | ||
+ | :<math>(1,0,0), (2,0,0), (1,1,0)</math> háromszög pozitívan ir. | ||
+ | (irány: t növekedése) | ||
+ | |||
+ | '''3.''' | ||
+ | :<math>\mathbf{v}(x,y,z)=\begin{pmatrix}2xy^3 \\ 3x^2y^2 \\3z^3\end{pmatrix}</math>, | ||
+ | :<math>\mathbf{r}(t)=\begin{pmatrix}t\\ 1-t \\ 0 \end{pmatrix}</math>, <math>t\in[0,1]</math> | ||
+ | (irány: t növekedése) | ||
+ | |||
+ | ==Gauss-tétel== | ||
+ | :<math>\int\limits_{\partial V}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{F} = \int\limits_{V}\mathrm{div}\,\mathbf{v}\,\mathrm{d}V</math> | ||
+ | '''1.''' | ||
+ | :<math>\mathbf{v}(\mathbf{r})=\mathbf{r}|\mathbf{r}|^5</math>, | ||
+ | :''F'' az első térnyolcad és az O középponttú R sugarú gömbtest metszetének a felülete. | ||
+ | :<math>\mathrm{div}(\mathbf{v}\Phi)=\mathrm{div}(\mathbf{v})\Phi+\mathbf{v}.\mathrm{grad}\Phi</math> | ||
+ | :<math>\mathrm{div}\,\mathbf{r}=\dim</math>, <math>\mathrm{grad}\,|\mathbf{r}|^\alpha=\alpha |\mathbf{r}|^(\alpha-2)\mathbf{r}</math>, <math>\alpha\geq 2</math> | ||
+ | |||
+ | '''2.''' | ||
+ | :<math>\mathbf{v}(\mathbf{r})=\mathbf{r}-\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}(\mathbf{k}\mathbf{r})</math>, <math>\mathbf{v}(\mathbf{0})=\mathbf{0}</math>, | ||
+ | :''F'': R sugarú, z tengelyű, +H. -H magasságban lévő alap és fedőlapú henger. | ||
+ | |||
+ | '''3.''' | ||
+ | :<math>\mathbf{v}(x,y,z)=\begin{pmatrix}z \\ xy \\yz\end{pmatrix}</math>, | ||
+ | :''F'': Egységsugarú felső félgömbfelület. | ||
+ | polárkoordináta: térfogattényező: <math>r^2\sin\theta</math>, <math>x=r\sin\theta \cos \phi, y=r\sin \theta\sin\varphi, z=r\cos \theta</math> | ||
+ | ==További feladatok== | ||
+ | |||
+ | '''1.''' '''v'''(x,y,z) = y<sup>2</sup>'''i''' + z<sup>2</sup>'''j''' + x<sup>2</sup>'''k''', görbe: A(a,0,0), B(0,a,0), C(0,0,a), alkotta háromszög, a>0 ilyen körüljárással. Vonalintegrál. | ||
+ | |||
+ | '''2.''' '''v'''(x,y,z) = 2(x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup>)'''i''' + (x+ y)<sup>2</sup>'''j''', görbe: A(1,1,0), B(2,2,0), C(1,3,0), alkotta háromszögvonal, ilyen körüljárással. Vonalintegrál. | ||
+ | |||
+ | '''3.''' '''v'''('''r''') = '''r''' és a z tengelyű, +-H magasságú, R sugarú henger felülete. Felületi integrál. | ||
+ | |||
+ | '''4.''' '''v'''(x,y,z) = x<sup>3</sup>'''i''' + y<sup>3</sup>'''j''' + z<sup>3</sup>'''k''' és az R sugarú origó kp-ú gömbfelszín. Felületi integrál. |
A lap jelenlegi, 2009. október 1., 22:34-kori változata
Tartalomjegyzék |
A differenciáloperátor vektor és skalárinvariánsai
Az, hogy az f: Rn ⊃ Rn leképezés differenciálható az értelmezési tartományának egy u pontjában, definíció szerint azt jelenti, hogy
Itt az A : Rn Rn lineáris leképezés nem más, mint a differenciál operátor, azaz df(u). Természetesen A koordintátafüggetlen, bár egy B bázis választásával A-t mátrixként tudjuk reprezentálni. Értelmes ekkor a det(A)-t és a tr(A)-t (azaz a trace A-t) tekinteni, amik invariáns, azaz koordinátafüggetlen, csak az A-tól függő skalármenyiségek. Ezek a Szernderd bázisban a J Jacobi-mártix determinánsa és főátlójának összege. Konkrétan:
Ha B ortonormált és csak ortonormált báziskora szorítkozunk, akkor értelmes az A transzponáltjáról, szimmetrikus és antiszimmetrikus részéről beszélni. ezen felül, ha f :R3 ⊃ R3 függvény, akkor az antiszimmertikus rész vektoriális szorzat formájában is előáll, azaz
ahol az első tényező a vektorinvariáns, ennek kétszerese a rotáció.
Integráltranszformációs (-redukciós) tételek
Alapséma: a Newton--Leibniz-formula. Adott az M sokaság és a sokaság ∂M pereme. Az v: M M folytonosan differenciálható függvény
- integrálja a határon = a derivált integrálja a peremen
A kérdés, hogy mi a derivált.
- (1. gradiens tétel) ha M görbe, akkor ∂M két pont és ∂f = grad f,
- (Stokes-tétel) ha M felület, akkor ∂M görbe és ∂v = rot v,
- (Gauss--Osztrogradszkíj-tétel) ha M térrész, akkor ∂M felület és ∂v = div v
Stokes-tétel
1.
- , ,
(irány: t növekedése)
2.
- ,
- (1,0,0),(2,0,0),(1,1,0) háromszög pozitívan ir.
(irány: t növekedése)
3.
- ,
- ,
(irány: t növekedése)
Gauss-tétel
1.
- ,
- F az első térnyolcad és az O középponttú R sugarú gömbtest metszetének a felülete.
- , ,
2.
- , ,
- F: R sugarú, z tengelyű, +H. -H magasságban lévő alap és fedőlapú henger.
3.
- ,
- F: Egységsugarú felső félgömbfelület.
polárkoordináta: térfogattényező: r2sinθ,
További feladatok
1. v(x,y,z) = y2i + z2j + x2k, görbe: A(a,0,0), B(0,a,0), C(0,0,a), alkotta háromszög, a>0 ilyen körüljárással. Vonalintegrál.
2. v(x,y,z) = 2(x2 + y2)i + (x+ y)2j, görbe: A(1,1,0), B(2,2,0), C(1,3,0), alkotta háromszögvonal, ilyen körüljárással. Vonalintegrál.
3. v(r) = r és a z tengelyű, +-H magasságú, R sugarú henger felülete. Felületi integrál.
4. v(x,y,z) = x3i + y3j + z3k és az R sugarú origó kp-ú gömbfelszín. Felületi integrál.