Matematika A3a 2009/4. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Stokes-tétel)
(Stokes-tétel)
 
35. sor: 35. sor:
 
:<math>\mathbf{r}(t)=\begin{pmatrix}t\\ 1-t \\ 0 \end{pmatrix}</math>, <math>t\in[0,1]</math>
 
:<math>\mathbf{r}(t)=\begin{pmatrix}t\\ 1-t \\ 0 \end{pmatrix}</math>, <math>t\in[0,1]</math>
 
(irány: t növekedése)
 
(irány: t növekedése)
 +
 +
==Gauss-tétel==
 +
:<math>\int\limits_{\partial V}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{F} = \int\limits_{V}\mathrm{div}\,\mathbf{v}\,\mathrm{d}V</math>
 +
'''1.'''
 +
:<math>\mathbf{v}(\mathbf{r})=\mathbf{r}|\mathbf{r}|^5</math>,
 +
:''F'' az első térnyolcad és az O középponttú R sugarú gömbtest metszetének a felülete.
 +
:<math>\mathrm{div}(\mathbf{v}\Phi)=\mathrm{div}(\mathbf{v})\Phi+\mathbf{v}.\mathrm{grad}\Phi</math>
 +
:<math>\mathrm{div}\,\mathbf{r}=\dim</math>, <math>\mathrm{grad}\,|\mathbf{r}|^\alpha=\alpha |\mathbf{r}|^(\alpha-2)\mathbf{r}</math>, <math>\alpha\geq 2</math>
 +
 +
'''2.'''
 +
:<math>\mathbf{v}(\mathbf{r})=\mathbf{r}-\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}(\mathbf{k}\mathbf{r})</math>, <math>\mathbf{v}(\mathbf{0})=\mathbf{0}</math>,
 +
:''F'': R sugarú, z tengelyű, +H. -H magasságban lévő alap és fedőlapú henger.
 +
 +
'''3.'''
 +
:<math>\mathbf{v}(x,y,z)=\begin{pmatrix}z \\ xy \\yz\end{pmatrix}</math>,
 +
:''F'': Egységsugarú felső félgömbfelület.
 +
polárkoordináta: térfogattényező: <math>r^2\sin\theta</math>, <math>x=r\sin\theta \cos \phi, y=r\sin \theta\sin\varphi, z=r\cos \theta</math>
 +
==További feladatok==
 +
 +
'''1.''' '''v'''(x,y,z) = y<sup>2</sup>'''i''' + z<sup>2</sup>'''j''' + x<sup>2</sup>'''k''', görbe: A(a,0,0), B(0,a,0), C(0,0,a), alkotta háromszög, a>0 ilyen körüljárással. Vonalintegrál.
 +
 +
'''2.''' '''v'''(x,y,z) = 2(x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup>)'''i''' + (x+ y)<sup>2</sup>'''j''',  görbe: A(1,1,0), B(2,2,0), C(1,3,0), alkotta háromszögvonal, ilyen körüljárással. Vonalintegrál.
 +
 +
'''3.''' '''v'''('''r''') = '''r''' és a z tengelyű, +-H magasságú, R sugarú henger felülete. Felületi integrál.
 +
 +
'''4.''' '''v'''(x,y,z) = x<sup>3</sup>'''i''' + y<sup>3</sup>'''j''' + z<sup>3</sup>'''k''' és az R sugarú origó kp-ú gömbfelszín. Felületi integrál.

A lap jelenlegi, 2009. október 1., 22:34-kori változata

Matematika A3a 2009

Tartalomjegyzék

A differenciáloperátor vektor és skalárinvariánsai

Az, hogy az f: Rn\to Rn leképezés differenciálható az értelmezési tartományának egy u pontjában, definíció szerint azt jelenti, hogy

\exists\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)-\mathbf{A}(x-u)}{||x-u||}=0

Itt az A : Rn \to Rn lineáris leképezés nem más, mint a differenciál operátor, azaz df(u). Természetesen A koordintátafüggetlen, bár egy B bázis választásával A-t mátrixként tudjuk reprezentálni. Értelmes ekkor a det(A)-t és a tr(A)-t (azaz a trace A-t) tekinteni, amik invariáns, azaz koordinátafüggetlen, csak az A-tól függő skalármenyiségek. Ezek a Szernderd bázisban a J Jacobi-mártix determinánsa és főátlójának összege. Konkrétan:

\mathrm{div}\,f (u)=\mathrm{tr}\,\mathrm{J}^f(u)=\sum\limits_{i=1}^n\frac{\partial f_i}{\partial x_i}=\nabla f

Ha B ortonormált és csak ortonormált báziskora szorítkozunk, akkor értelmes az A transzponáltjáról, szimmetrikus és antiszimmetrikus részéről beszélni. ezen felül, ha f :R3\to R3 függvény, akkor az antiszimmertikus rész vektoriális szorzat formájában is előáll, azaz

\frac{1}{2}\mathrm{rot}\,f(u)\times x=(\mathrm{d}f(u))_{\mathrm{AS}}x=(\nabla \times f)(u)x

ahol az első tényező a vektorinvariáns, ennek kétszerese a rotáció.

Integráltranszformációs (-redukciós) tételek

Alapséma: a Newton--Leibniz-formula. Adott az M sokaság és a sokaság ∂M pereme. Az v: M \to M folytonosan differenciálható függvény

integrálja a határon = a derivált integrálja a peremen
\int\limits_{\partial M} \mathbf{v}=\int\limits_{M} \partial\mathbf{v}

A kérdés, hogy mi a derivált.

(1. gradiens tétel) ha M görbe, akkor ∂M két pont és ∂f = grad f,
(Stokes-tétel) ha M felület, akkor ∂M görbe és ∂v = rot v,
(Gauss--Osztrogradszkíj-tétel) ha M térrész, akkor ∂M felület és ∂v = div v

Stokes-tétel

\int\limits_{\partial F}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r} = \int\limits_{F}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{F}

1.

\mathbf{v}(x,y,z)=\begin{pmatrix}y+z \\ x+z \\ x+y \end{pmatrix}, \mathbf{r}(t)=\begin{pmatrix}\sin t\\ \cos t \\ 1 \end{pmatrix},

(irány: t növekedése)

2.

\mathbf{v}(x,y,z)=\begin{pmatrix}2y^2+2xy \\ x^2+yx \\z^2\end{pmatrix},
(1,0,0),(2,0,0),(1,1,0) háromszög pozitívan ir.

(irány: t növekedése)

3.

\mathbf{v}(x,y,z)=\begin{pmatrix}2xy^3 \\ 3x^2y^2 \\3z^3\end{pmatrix},
\mathbf{r}(t)=\begin{pmatrix}t\\ 1-t \\ 0 \end{pmatrix}, t\in[0,1]

(irány: t növekedése)

Gauss-tétel

\int\limits_{\partial V}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{F} = \int\limits_{V}\mathrm{div}\,\mathbf{v}\,\mathrm{d}V

1.

\mathbf{v}(\mathbf{r})=\mathbf{r}|\mathbf{r}|^5,
F az első térnyolcad és az O középponttú R sugarú gömbtest metszetének a felülete.
\mathrm{div}(\mathbf{v}\Phi)=\mathrm{div}(\mathbf{v})\Phi+\mathbf{v}.\mathrm{grad}\Phi
\mathrm{div}\,\mathbf{r}=\dim, \mathrm{grad}\,|\mathbf{r}|^\alpha=\alpha |\mathbf{r}|^(\alpha-2)\mathbf{r}, \alpha\geq 2

2.

\mathbf{v}(\mathbf{r})=\mathbf{r}-\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}(\mathbf{k}\mathbf{r}), \mathbf{v}(\mathbf{0})=\mathbf{0},
F: R sugarú, z tengelyű, +H. -H magasságban lévő alap és fedőlapú henger.

3.

\mathbf{v}(x,y,z)=\begin{pmatrix}z \\ xy \\yz\end{pmatrix},
F: Egységsugarú felső félgömbfelület.

polárkoordináta: térfogattényező: r2sinθ, x=r\sin\theta \cos \phi, y=r\sin \theta\sin\varphi, z=r\cos \theta

További feladatok

1. v(x,y,z) = y2i + z2j + x2k, görbe: A(a,0,0), B(0,a,0), C(0,0,a), alkotta háromszög, a>0 ilyen körüljárással. Vonalintegrál.

2. v(x,y,z) = 2(x2 + y2)i + (x+ y)2j, görbe: A(1,1,0), B(2,2,0), C(1,3,0), alkotta háromszögvonal, ilyen körüljárással. Vonalintegrál.

3. v(r) = r és a z tengelyű, +-H magasságú, R sugarú henger felülete. Felületi integrál.

4. v(x,y,z) = x3i + y3j + z3k és az R sugarú origó kp-ú gömbfelszín. Felületi integrál.

Személyes eszközök