Matematika A3a 2009/4. gyakorlat

_{Matematika A3a 2009}

A differenciáloperátor vektor és skalárinvariánsai

Az, hogy az f: Rⁿ ⊃$\to$ Rⁿ leképezés differenciálható az értelmezési tartományának egy u pontjában, definíció szerint azt jelenti, hogy

$\exists\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)-\mathbf{A}(x-u)}{||x-u||}=0$

Itt az A : Rⁿ $\to$ Rⁿ lineáris leképezés nem más, mint a differenciál operátor, azaz df(u). Természetesen A koordintátafüggetlen, bár egy B bázis választásával A-t mátrixként tudjuk reprezentálni. Értelmes ekkor a det(A)-t és a tr(A)-t (azaz a trace A-t) tekinteni, amik invariáns, azaz koordinátafüggetlen, csak az A-tól függő skalármenyiségek. Ezek a Szernderd bázisban a J Jacobi-mártix determinánsa és főátlójának összege. Konkrétan:

$\mathrm{div}\,f (u)=\mathrm{tr}\,\mathrm{J}^f(u)=\sum\limits_{i=1}^n\frac{\partial f_i}{\partial x_i}=\nabla f$

Ha B ortonormált és csak ortonormált báziskora szorítkozunk, akkor értelmes az A transzponáltjáról, szimmetrikus és antiszimmetrikus részéről beszélni. ezen felül, ha f :R³ ⊃$\to$ R³ függvény, akkor az antiszimmertikus rész vektoriális szorzat formájában is előáll, azaz

$\frac{1}{2}\mathrm{rot}\,f(u)\times x=(\mathrm{d}f(u))_{\mathrm{AS}}x=(\nabla \times f)(u)x$

ahol az első tényező a vektorinvariáns, ennek kétszerese a rotáció.

Integráltranszformációs (-redukciós) tételek

Alapséma: a Newton--Leibniz-formula. Adott az M sokaság és a sokaság ∂M pereme. Az v: M $\to$ M differenciálható függvény

integrálja a határon = a derivált integrálja a peremen

$\int\limits_{\partial M} \mathbf{v}=\int\limits_{M} \partial\mathbf{v}$

A kérdés, hogy mi a derivált.

(1. gradiens tétel) ha M görbe, akkor ∂M két pont és ∂f = grad f,

(Stokes-tétel) ha M felület, akkor ∂M görbe és ∂v = rot v,

(Gauss--Osztrogradszkíj-tétel) ha M térrész, akkor ∂M felület és ∂v = div v

Stokes-tétel

$\int\limits_{\partial F}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r} = \int\limits_{F}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{F}$

1.