Matematika A3a 2009/4. gyakorlat
Tartalomjegyzék |
A differenciáloperátor vektor és skalárinvariánsai
Az, hogy az f: Rn ⊃ Rn leképezés differenciálható az értelmezési tartományának egy u pontjában, definíció szerint azt jelenti, hogy
Itt az A : Rn Rn lineáris leképezés nem más, mint a differenciál operátor, azaz df(u). Természetesen A koordintátafüggetlen, bár egy B bázis választásával A-t mátrixként tudjuk reprezentálni. Értelmes ekkor a det(A)-t és a tr(A)-t (azaz a trace A-t) tekinteni, amik invariáns, azaz koordinátafüggetlen, csak az A-tól függő skalármenyiségek. Ezek a Szernderd bázisban a J Jacobi-mártix determinánsa és főátlójának összege. Konkrétan:
Ha B ortonormált és csak ortonormált báziskora szorítkozunk, akkor értelmes az A transzponáltjáról, szimmetrikus és antiszimmetrikus részéről beszélni. ezen felül, ha f :R3 ⊃ R3 függvény, akkor az antiszimmertikus rész vektoriális szorzat formájában is előáll, azaz
ahol az első tényező a vektorinvariáns, ennek kétszerese a rotáció.
Integráltranszformációs (-redukciós) tételek
Alapséma: a Newton--Leibniz-formula. Adott az M sokaság és a sokaság ∂M pereme. Az v: M M folytonosan differenciálható függvény
- integrálja a határon = a derivált integrálja a peremen
A kérdés, hogy mi a derivált.
- (1. gradiens tétel) ha M görbe, akkor ∂M két pont és ∂f = grad f,
- (Stokes-tétel) ha M felület, akkor ∂M görbe és ∂v = rot v,
- (Gauss--Osztrogradszkíj-tétel) ha M térrész, akkor ∂M felület és ∂v = div v
Stokes-tétel
1.
- , ,
(irány: t növekedése)
2.
- ,
- (1,0,0),(2,0,0),(1,1,0) háromszög pozitívan ir.
(irány: t növekedése)
3.
- ,
- ,
(irány: t növekedése)
Gauss-tétel
1.
- ,
- F az első térnyolcad és az O középponttú R sugarú gömbtest metszetének a felülete.
- , ,
2.
- , ,
- F: R sugarú, z tengelyű, +H. -H magasságban lévő alap és fedőlapú henger.
3.
- ,
- F: Egységsugarú felső félgömbfelület.
polárkoordináta: térfogattényező: r2sinθ,
További feladatok
1. v(x,y,z) = y2i + z2j + x2k, görbe: A(a,0,0), B(0,a,0), C(0,0,a), alkotta háromszög, a>0 ilyen körüljárással. Vonalintegrál.
2. v(x,y,z) = 2(x2 + y2)i + (x+ y)2j, görbe: A(1,1,0), B(2,2,0), C(1,3,0), alkotta háromszögvonal, ilyen körüljárással. Vonalintegrál.
3. v(r) = r és a z tengelyű, +-H magasságú, R sugarú henger felülete. Felületi integrál.
4. v(x,y,z) = x3i + y3j + z3k és az R sugarú origó kp-ú gömbfelszín. Felületi integrál.