Matematika A3a 2009/5. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Komplex számkör unicitása és reprezentációi) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Topológia '''C'''-ben) |
||
| 30. sor: | 30. sor: | ||
ahol ''z'' ∈ '''C''', ''r'' > 0 valós szám. | ahol ''z'' ∈ '''C''', ''r'' > 0 valós szám. | ||
| − | Világos, hogy akármilyen '''R'''<sup>2</sup>-beli norma szerinti gömböket is választhattunk volna a '''C''' gömbjeinek, mert '''R'''<sup>2</sup>-ben ''minden norma ugyanazt a topológiát származtatja''. Mi a ||.||<sub>2</sub>-t, azaz az euklideszi normát emeltük ki. | + | Világos, hogy akármilyen '''R'''<sup>2</sup>-beli norma szerinti gömböket is választhattunk volna a '''C''' gömbjeinek, mert '''R'''<sup>2</sup>-ben ''minden norma ugyanazt a topológiát származtatja''. Mi a ||.||<sub>2</sub>-t, azaz az euklideszi normát emeltük ki a következő két hasznos tulajdonsága miatt: |
| + | # <math>|z|=\sqrt{z\overline{z}}</math> | ||
| + | # <math>|z_1z_2|=|z_1||z_2|\,</math> | ||
| + | az utóbbi azt is jelenti, hogy |.| nem csak normált algebrává teszi '''C'''-t, de ez egy abszolútérték is. | ||
| + | |||
| + | ===Folytonosság=== | ||
| + | |||
| + | A <math>(z,w) \mapsto z+w\,</math> véges dimenziós valós lineáris leképezés így folytonos. | ||
| + | |||
| + | A szorzás | ||
| + | :<math>(z,w) \mapsto zw\,</math> | ||
| + | már nem lineáris, de még mindig folytonos: | ||
| + | :<math>|zw-z_0w_0|=|zw-zw_0+zw_0-z_0w_0|\leq|z||w-w_0|+|w_0||z-z_0|\leq </math> | ||
| + | :<math>\leq(|z_0|+1)|w-w_0|+(|w_0|+1)|z-z_0|</math> | ||
| + | ami kisebb ε, ha max{|z-<math>z_0</math>|,|w-<math>w_0</math>|}<δ=min{ε/(|<math>z_0</math>|+1),ε/(|<math>w_0</math>|+1),1} | ||
A lap 2009. október 15., 10:22-kori változata
Komplex számkör unicitása és reprezentációi
C, azaz a komplex számok teste kétdimenziós valós vektortér. C elemei reprezentálhatók az R2 síkon, a következő megfeleltetésekkel:
a vektortérműveletek pedig:
vektorösszeadás (a, b, c, d ∈ R)
valós számmal való szorzás (λ, a, b ∈ R)
A komplex számok körét a komplex szorzás tulajdonságai egyértelműsítik. C nem csak kétdimenziós valós vektortér, de a szorzással algebra is, sőt C az egyetlen kétdimenziós kommutatív, nullosztómentes valós algebra -- izomorfizmus erejéig. Sok megjelenési formája lehet a komplex számoknak, de bármely két reprezentáció olyan, hogy található olyan kölcsönösen egyértelmű leképezés köztük, mely lineáris és megtartja a szorzást is (azaz algebra izomorfizmus).
A nullosztómentesség és a kommutativitás jellemzően a mátrixalgebrákban nemtriviális tulajdonság. A komplex számok olyan lineáris leképezéseknek felelnek meg, melyek mátrixa
A komplex számok szorzása itt a mátrixszorzás.
Ezek tényleg az R2 forgatva nyújtásai, csak át kell térnünk trigonometrikus alakra:
Topológia C-ben
C-ben, mint az R2 sík elemein tehát értelmezhetjük a gömbi környezeteket, mint az R2 sík pontjai körüli gömböket. Ezzel meg is kaptuk a C-beli nyílt halmazokat, azaz C topológiáját. A gömbök tehát a Gauss-számsík körlapjai:
ahol z ∈ C, r > 0 valós szám.
Világos, hogy akármilyen R2-beli norma szerinti gömböket is választhattunk volna a C gömbjeinek, mert R2-ben minden norma ugyanazt a topológiát származtatja. Mi a ||.||2-t, azaz az euklideszi normát emeltük ki a következő két hasznos tulajdonsága miatt:
az utóbbi azt is jelenti, hogy |.| nem csak normált algebrává teszi C-t, de ez egy abszolútérték is.
Folytonosság
A 
véges dimenziós valós lineáris leképezés így folytonos.
A szorzás
már nem lineáris, de még mindig folytonos:
ami kisebb ε, ha max{|z-z0|,|w-w0|}<δ=min{ε/(|z0|+1),ε/(|w0|+1),1}
