Matematika A3a 2009/5. gyakorlat

A MathWikiből

(Változatok közti eltérés)

A lap jelenlegi, 2009. október 19., 22:32-kori változata

Tartalomjegyzék

1 Komplex számkör unicitása és reprezentációi
2 Topológia C-ben
3 Sorozatok, sorok
4 Elemi függvények

Komplex számkör unicitása és reprezentációi

C, azaz a komplex számok teste kétdimenziós valós vektortér. C elemei reprezentálhatók az R² síkon, a következő megfeleltetésekkel:

$\mathbf{C}\ni a+bi\equiv (a,b)\in \mathbf{R}^2$

a vektortérműveletek pedig:

$\mathbf{C}\ni (a+bi)+(c+di)\equiv (a,b)+(c,d)\in \mathbf{R}^2$ vektorösszeadás (a, b, c, d ∈ R)

$\mathbf{C}\ni \lambda\cdot(a+bi)\equiv \lambda.(a,b)\in \mathbf{R}^2$ valós számmal való szorzás (λ, a, b ∈ R)

A komplex számok körét a komplex szorzás tulajdonságai egyértelműsítik. C nem csak kétdimenziós valós vektortér, de a szorzással algebra is, sőt C az egyetlen kétdimenziós kommutatív, nullosztómentes valós algebra -- izomorfizmus erejéig. Sok megjelenési formája lehet a komplex számoknak, de bármely két reprezentáció olyan, hogy található olyan kölcsönösen egyértelmű leképezés köztük, mely lineáris és megtartja a szorzást is (azaz algebra izomorfizmus).

A nullosztómentesség és a kommutativitás jellemzően a mátrixalgebrákban nemtriviális tulajdonság. A komplex számok olyan lineáris leképezéseknek felelnek meg, melyek mátrixa

$\begin{pmatrix} a & -b\\ b & a \end{pmatrix}$

A komplex számok szorzása itt a mátrixszorzás.

Ezek tényleg az R² forgatva nyújtásai, csak át kell térnünk trigonometrikus alakra:

$\begin{pmatrix} a & -b\\ b & a \end{pmatrix}=r\begin{pmatrix} \cos(\varphi) & -\sin(\varphi)\\ \sin(\varphi) & \cos(\varphi) \end{pmatrix}$

Topológia C-ben

C-ben, mint az R² sík elemein tehát értelmezhetjük a gömbi környezeteket, mint az R² sík pontjai körüli gömböket. Ezzel meg is kaptuk a C-beli nyílt halmazokat, azaz C topológiáját. A gömbök tehát a Gauss-számsík körlapjai:

$B_r(z)=\{w\in \mathbf{C}\mid |w-z|< r\}$

ahol z ∈ C, r > 0 valós szám.

Világos, hogy akármilyen R²-beli norma szerinti gömböket is választhattunk volna a C gömbjeinek, mert R²-ben minden norma ugyanazt a topológiát származtatja. Mi a ||.||₂-t, azaz az euklideszi normát emeltük ki a következő két hasznos tulajdonsága miatt:

$|z|=\sqrt{z\overline{z}}$
$|z_1z_2|=|z_1||z_2|\,$

az utóbbi azt is jelenti, hogy |.| nem csak normált algebrává teszi C-t, de ez egy abszolútérték is.

Folytonosság

A $(z,w) \mapsto z+w\,$ véges dimenziós valós lineáris leképezés így folytonos.

A szorzás

$(z,w) \mapsto zw\,$

már nem lineáris, de még mindig folytonos:

$|zw-z_0w_0|=|zw-zw_0+zw_0-z_0w_0|\leq|z||w-w_0|+|w_0||z-z_0|\leq$

$\leq(|z_0|+1)|w-w_0|+(|w_0|+1)|z-z_0|$

ami kisebb ε, ha max{|z- $z 0$ |,|w- $w 0$ |}<δ=min{ε/(| $z 0$ |+1),ε/(| $w 0$ |+1),1}

Kompaktifikáció

$\overline{\mathbf{C}}=\mathbf{C}\cup\{\infty\}\,$

Kompaktá válik, a következő topológiával. A nyílt halmazok az R²-beli gömbök (körlapok) által meghatározott halmazok, hozzávéve a végtelen gömbi környezetei által meghatározott nyílt halmazokat. Az $\infty\in \overline{\mathbf{C}}$ elem kipontozott gömbi környezetei:

$\dot{B}_{\delta}(\infty)=\{z\in \mathbf{C}\mid |z|>\frac{1}{\delta}\}$

Ekkor $\infty\in \overline{\mathbf{C}}$ kompakt lesz. Legyen ugyanis Ω olyan nyílt halmazokból álló halmazrendszer, mely lefedi a lezártatt. Ekkor bármilyen δ-ra B_δ(0) lezártja kompakt és így véges sokkal az Ω-ból lefedhető. Most vegyünk egy olyan U ∈ Ω-t, mely lefedi ∞-t. Van egy olyan B_δ(∞) ⊆ környezet, mely feledi &infint;, a komplementert pedig már véges sok is lefedi.

Határérték

1.

$\lim\limits_{z\to i}\frac{z-i}{z^2+1}$

$\frac{z-i}{z^2+1}=\frac{z-i}{(z+i)(z-i)}=\frac{1}{z+i}\longrightarrow_{z\to i}\frac{1}{2i}$

2.

$\lim\limits_{z\to 0}\frac{1}{z}-\frac{2}{\overline{z}}=?$ ,

$\frac{1}{z}-\frac{2}{\overline{z}}=\frac{\overline{z}-2z}{z\overline{z}}$

csak a valós részt nézve:

$\left|\frac{-x}{x^2+y^2}\right|$

az (x,y)=(x,0) esetben a (0,0)-hoz tartva: végtelen, de (x,y)=(0,y), akkor 0. tehát nincs.

Sorozatok, sorok

1.

$\left(\frac{n+i}{n}\right)^n\to ?$

$\left(\frac{n+i}{n}\right)^n=\left(\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}\right)^n\cdot\left(\cos\left(n\,\mathrm{arc\,tg}\left(\frac{1}{n}\right)\right)+i\sin\left(n\,\mathrm{arc\,tg}\left(\frac{1}{n}\right)\right)\right)\to$

$\to \cos1+i\sin 1\,$

Mert a szögfüggvények argumentumában lévő sorozat az 1-hez tart (pl L'Hospital-szabállyal majd átviteli elvvel ellenőrizhető), a első szorzó pedig az 1-ehez tart (rendőrelvvel).

2. Konvergens-e illetve abszolút konvergens-e?

$\sum\left(\frac{i^n}{n}\right)$

Elemi függvények

Exponenciális függvény

$e^z=_{\mathrm{def}}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}\,$

Ebbőkkiderül az exponenciális függvény sok tulajdonsága. Például, ha z = x + iy, akkor

$e^{x+iy}=e^x\cdot e^{iy}=e^x\cdot (\cos y + i\sin y)\,$

Ebből rögtön következik, hogy komplex exponenciális függvény periodikus, periódusa a p = 2πi:

$e^{z+2\pi i}=e^z\cdot e^{2\pi i}=e^z\cdot e^0\cdot (\cos 2\pi + i\sin 2\pi)=e^z(1+0i)\,$

Feladat. Oldjuk meg az

$e^z=1+i\;$

egyenletet!

Írjuk át 1+i-t exponenciális alakba:

$1+i=e^{\ln \sqrt{2}}\cdot e^{i\frac{\pi}{4}}\,$

így

$z=\ln\sqrt{2} +i\frac{\pi}{4}+2\pi i\,$

Feladat. Oldjuk meg az

$e^{iz}+ie^{-4iz}=0\,$

egyenletet!

Hatvány

$i^{i}=e^{i\mathrm{ln}\,i}=e^{i(\mathrm{ln}\,1+\frac{i\pi}{2}+2\pi ik)}=e^{i\mathrm{ln}\,1-\frac{\pi}{2}-2\pi k}$

Trigonometikus függvények

$\sin z=_{\mathrm{def}}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nz^{2n+1}}{(2n+1)!}\,$

$\cos z=_{\mathrm{def}}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nz^{2n}}{(2n)!}\,$

Világos, hogy valós φ-re:

$e^{i\varphi}=\cos(\varphi)+i\sin(\varphi)\,$

A hiperbolikus függvényekhez hasonlóan a trigonometrikus függvények is előállnak de a komplex exponenciális segítségével:

$\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$

$\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$

Feladat. Oldjuk meg az

$\sin 4z=0\,$ ill

$\sin z=2\,$

egyenletet!

Hiperbolikus függvények

$\mathrm{sh}\, z=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}$

$\mathrm{ch}\, z=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}$

Feladat. Határozzuk meg az w = sh(iz) függvény valós és képzetes részét!

Feladat. Igazoljuk a definiáló sorokkal, hogy sin(iz) = i sh(z)

@@ 45. sor: / 45. sor: @@
 :<math>\leq(|z_0|+1)|w-w_0|+(|w_0|+1)|z-z_0|</math>
 ami kisebb &epsilon;, ha max{|z-<math>z_0</math>|,|w-<math>w_0</math>|}<&delta;=min{&epsilon;/(|<math>z_0</math>|+1),&epsilon;/(|<math>w_0</math>|+1),1}
+===Kompaktifikáció===
+:<math>\overline{\mathbf{C}}=\mathbf{C}\cup\{\infty\}\,</math>
+Kompaktá válik, a következő topológiával. A nyílt halmazok az '''R'''<sup>2</sup>-beli gömbök (körlapok) által meghatározott halmazok, hozzávéve a végtelen gömbi környezetei által meghatározott nyílt halmazokat. Az <math>\infty\in \overline{\mathbf{C}}</math> elem kipontozott gömbi környezetei:
+:<math>
+\dot{B}_{\delta}(\infty)=\{z\in \mathbf{C}\mid |z|>\frac{1}{\delta}\}</math>
+Ekkor <math>\infty\in \overline{\mathbf{C}}</math> kompakt lesz. Legyen ugyanis &Omega; olyan nyílt halmazokból álló halmazrendszer, mely lefedi a lezártatt. Ekkor bármilyen &delta;-ra B<sub>&delta;</sub>(0) lezártja kompakt és így véges sokkal az &Omega;-ból lefedhető. Most vegyünk egy olyan U &isin; &Omega;-t, mely lefedi &infin;-t. Van egy olyan B<sub>&delta;</sub>(&infin;) &sube; környezet, mely feledi &infint;, a komplementert pedig már véges sok is lefedi.
+===Határérték===
+'''1.'''
+:<math>\lim\limits_{z\to i}\frac{z-i}{z^2+1}</math>
+:<math>\frac{z-i}{z^2+1}=\frac{z-i}{(z+i)(z-i)}=\frac{1}{z+i}\longrightarrow_{z\to i}\frac{1}{2i}</math>
+'''2.'''
+:<math>\lim\limits_{z\to 0}\frac{1}{z}-\frac{2}{\overline{z}}=?</math>,
+:<math>\frac{1}{z}-\frac{2}{\overline{z}}=\frac{\overline{z}-2z}{z\overline{z}}</math>
+csak a valós részt nézve:
+:<math>\left|\frac{-x}{x^2+y^2}\right|</math>
+az (x,y)=(x,0) esetben a (0,0)-hoz tartva: végtelen, de (x,y)=(0,y), akkor 0. tehát nincs.
+==Sorozatok, sorok==
+'''1. '''
+:<math>\left(\frac{n+i}{n}\right)^n\to ?</math>
+:<math>\left(\frac{n+i}{n}\right)^n=\left(\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}\right)^n\cdot\left(\cos\left(n\,\mathrm{arc\,tg}\left(\frac{1}{n}\right)\right)+i\sin\left(n\,\mathrm{arc\,tg}\left(\frac{1}{n}\right)\right)\right)\to </math>
+:: <math>\to \cos1+i\sin 1\,</math>
+Mert a szögfüggvények argumentumában lévő sorozat az 1-hez tart (pl L'Hospital-szabállyal majd átviteli elvvel ellenőrizhető), a első szorzó pedig az 1-ehez tart (rendőrelvvel).
+'''2.'''
+Konvergens-e illetve abszolút konvergens-e?
+:<math>\sum\left(\frac{i^n}{n}\right)</math>
+==Elemi függvények==
+===Exponenciális függvény===
+:<math>
+e^z=_{\mathrm{def}}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}\,</math>
+Ebbőkkiderül az exponenciális függvény sok tulajdonsága. Például, ha z = x + iy, akkor
+:<math>e^{x+iy}=e^x\cdot e^{iy}=e^x\cdot (\cos y + i\sin y)\,</math>
+Ebből rögtön következik, hogy komplex exponenciális függvény periodikus, periódusa a p = 2&pi;i:
+:<math>e^{z+2\pi i}=e^z\cdot e^{2\pi i}=e^z\cdot e^0\cdot (\cos 2\pi + i\sin 2\pi)=e^z(1+0i)\,</math>
+'''Feladat.''' Oldjuk meg az
+:<math>e^z=1+i\;</math>
+egyenletet!
+Írjuk át 1+i-t exponenciális alakba:
+:<math>1+i=e^{\ln \sqrt{2}}\cdot e^{i\frac{\pi}{4}}\,
+</math>
+így
+:<math>z=\ln\sqrt{2} +i\frac{\pi}{4}+2\pi i\,</math>
+'''Feladat.''' Oldjuk meg az
+:<math>e^{iz}+ie^{-4iz}=0\,</math>
+egyenletet!
+===Hatvány===
+:<math>i^{i}=e^{i\mathrm{ln}\,i}=e^{i(\mathrm{ln}\,1+\frac{i\pi}{2}+2\pi ik)}=e^{i\mathrm{ln}\,1-\frac{\pi}{2}-2\pi k}</math>
+===Trigonometikus függvények===
+:<math>\sin z=_{\mathrm{def}}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nz^{2n+1}}{(2n+1)!}\,</math>
+:<math>\cos z=_{\mathrm{def}}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nz^{2n}}{(2n)!}\,</math>
+Világos, hogy valós &phi;-re:
+:<math>e^{i\varphi}=\cos(\varphi)+i\sin(\varphi)\,</math>
+A hiperbolikus függvényekhez hasonlóan a trigonometrikus függvények is előállnak de a komplex exponenciális segítségével:
+:<math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math>
+:<math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} </math>
+'''Feladat.''' Oldjuk meg az
+:<math>\sin 4z=0\,</math> ill
+:<math>\sin z=2\,</math>
+egyenletet!
+===Hiperbolikus függvények===
+:<math>\mathrm{sh}\, z=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}</math>
+:<math>\mathrm{ch}\, z=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2} </math>
+'''Feladat.''' Határozzuk meg az w = sh(iz) függvény valós és képzetes részét!
+'''Feladat.''' Igazoljuk a definiáló sorokkal, hogy sin(iz) = i sh(z)

Matematika A3a 2009/5. gyakorlat

A lap jelenlegi, 2009. október 19., 22:32-kori változata

Tartalomjegyzék

Komplex számkör unicitása és reprezentációi

Topológia C-ben

Folytonosság

Kompaktifikáció

Határérték

Sorozatok, sorok

Elemi függvények

Exponenciális függvény

Hatvány

Trigonometikus függvények

Hiperbolikus függvények

Nézetek

Személyes eszközök

Navigáció

Keresés

Eszközök