Matematika A3a 2009/5. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Trigonometikus függvények)
(Kompaktifikáció)
 
(egy szerkesztő 2 közbeeső változata nincs mutatva)
48. sor: 48. sor:
 
===Kompaktifikáció===
 
===Kompaktifikáció===
 
:<math>\overline{\mathbf{C}}=\mathbf{C}\cup\{\infty\}\,</math>
 
:<math>\overline{\mathbf{C}}=\mathbf{C}\cup\{\infty\}\,</math>
Kompaktá válik, a következp topológiával. A nyílt halmazok az '''R'''<sup>2</sup>-beli gömbök (körlapok) által meghatározott halmazok, hozzávéve a végtelen gömbi környezetei által meghatározott nyílt halmazokat. Az <math>\infty\in \overline{\mathbf{C}}</math> elem kipontozott gömbi környezetei:  
+
Kompaktá válik, a következő topológiával. A nyílt halmazok az '''R'''<sup>2</sup>-beli gömbök (körlapok) által meghatározott halmazok, hozzávéve a végtelen gömbi környezetei által meghatározott nyílt halmazokat. Az <math>\infty\in \overline{\mathbf{C}}</math> elem kipontozott gömbi környezetei:  
 
:<math>
 
:<math>
 
\dot{B}_{\delta}(\infty)=\{z\in \mathbf{C}\mid |z|>\frac{1}{\delta}\}</math>
 
\dot{B}_{\delta}(\infty)=\{z\in \mathbf{C}\mid |z|>\frac{1}{\delta}\}</math>
58. sor: 58. sor:
 
:<math>\lim\limits_{z\to i}\frac{z-i}{z^2+1}</math>
 
:<math>\lim\limits_{z\to i}\frac{z-i}{z^2+1}</math>
  
:<math>\frac{z-i}{z^2+1}=\frac{z-i}{(z+i)(z-i)}=\frac{1}{z+i}\longrightarrow_{z\to -i}\infty</math>
+
:<math>\frac{z-i}{z^2+1}=\frac{z-i}{(z+i)(z-i)}=\frac{1}{z+i}\longrightarrow_{z\to i}\frac{1}{2i}</math>
 
'''2.'''
 
'''2.'''
 
:<math>\lim\limits_{z\to 0}\frac{1}{z}-\frac{2}{\overline{z}}=?</math>,
 
:<math>\lim\limits_{z\to 0}\frac{1}{z}-\frac{2}{\overline{z}}=?</math>,
131. sor: 131. sor:
 
'''Feladat.''' Határozzuk meg az w = sh(iz) függvény valós és képzetes részét!
 
'''Feladat.''' Határozzuk meg az w = sh(iz) függvény valós és képzetes részét!
  
'''Feladat.''' sin(iz) = i sh(z) függvény valós és képzetes részét sorokkal.
+
'''Feladat.''' Igazoljuk a definiáló sorokkal, hogy sin(iz) = i sh(z)

A lap jelenlegi, 2009. október 19., 21:32-kori változata

Tartalomjegyzék

Komplex számkör unicitása és reprezentációi

C, azaz a komplex számok teste kétdimenziós valós vektortér. C elemei reprezentálhatók az R2 síkon, a következő megfeleltetésekkel:

\mathbf{C}\ni a+bi\equiv (a,b)\in \mathbf{R}^2

a vektortérműveletek pedig:

\mathbf{C}\ni (a+bi)+(c+di)\equiv (a,b)+(c,d)\in \mathbf{R}^2 vektorösszeadás (a, b, c, dR)
\mathbf{C}\ni \lambda\cdot(a+bi)\equiv \lambda.(a,b)\in \mathbf{R}^2 valós számmal való szorzás (λ, a, bR)

A komplex számok körét a komplex szorzás tulajdonságai egyértelműsítik. C nem csak kétdimenziós valós vektortér, de a szorzással algebra is, sőt C az egyetlen kétdimenziós kommutatív, nullosztómentes valós algebra -- izomorfizmus erejéig. Sok megjelenési formája lehet a komplex számoknak, de bármely két reprezentáció olyan, hogy található olyan kölcsönösen egyértelmű leképezés köztük, mely lineáris és megtartja a szorzást is (azaz algebra izomorfizmus).

A nullosztómentesség és a kommutativitás jellemzően a mátrixalgebrákban nemtriviális tulajdonság. A komplex számok olyan lineáris leképezéseknek felelnek meg, melyek mátrixa

\begin{pmatrix} 
a & -b\\
b & a
\end{pmatrix}

A komplex számok szorzása itt a mátrixszorzás.

Ezek tényleg az R2 forgatva nyújtásai, csak át kell térnünk trigonometrikus alakra:

\begin{pmatrix} 
a & -b\\
b & a
\end{pmatrix}=r\begin{pmatrix} 
\cos(\varphi) & -\sin(\varphi)\\
\sin(\varphi) & \cos(\varphi)
\end{pmatrix}

Topológia C-ben

C-ben, mint az R2 sík elemein tehát értelmezhetjük a gömbi környezeteket, mint az R2 sík pontjai körüli gömböket. Ezzel meg is kaptuk a C-beli nyílt halmazokat, azaz C topológiáját. A gömbök tehát a Gauss-számsík körlapjai:

B_r(z)=\{w\in \mathbf{C}\mid |w-z|< r\}

ahol zC, r > 0 valós szám.

Világos, hogy akármilyen R2-beli norma szerinti gömböket is választhattunk volna a C gömbjeinek, mert R2-ben minden norma ugyanazt a topológiát származtatja. Mi a ||.||2-t, azaz az euklideszi normát emeltük ki a következő két hasznos tulajdonsága miatt:

  1. |z|=\sqrt{z\overline{z}}
  2. |z_1z_2|=|z_1||z_2|\,

az utóbbi azt is jelenti, hogy |.| nem csak normált algebrává teszi C-t, de ez egy abszolútérték is.

Folytonosság

A (z,w) \mapsto z+w\, véges dimenziós valós lineáris leképezés így folytonos.

A szorzás

(z,w) \mapsto zw\,

már nem lineáris, de még mindig folytonos:

|zw-z_0w_0|=|zw-zw_0+zw_0-z_0w_0|\leq|z||w-w_0|+|w_0||z-z_0|\leq
\leq(|z_0|+1)|w-w_0|+(|w_0|+1)|z-z_0|

ami kisebb ε, ha max{|z-z0|,|w-w0|}<δ=min{ε/(|z0|+1),ε/(|w0|+1),1}

Kompaktifikáció

\overline{\mathbf{C}}=\mathbf{C}\cup\{\infty\}\,

Kompaktá válik, a következő topológiával. A nyílt halmazok az R2-beli gömbök (körlapok) által meghatározott halmazok, hozzávéve a végtelen gömbi környezetei által meghatározott nyílt halmazokat. Az \infty\in \overline{\mathbf{C}} elem kipontozott gömbi környezetei:


\dot{B}_{\delta}(\infty)=\{z\in \mathbf{C}\mid |z|>\frac{1}{\delta}\}

Ekkor \infty\in \overline{\mathbf{C}} kompakt lesz. Legyen ugyanis Ω olyan nyílt halmazokból álló halmazrendszer, mely lefedi a lezártatt. Ekkor bármilyen δ-ra Bδ(0) lezártja kompakt és így véges sokkal az Ω-ból lefedhető. Most vegyünk egy olyan U ∈ Ω-t, mely lefedi ∞-t. Van egy olyan Bδ(∞) ⊆ környezet, mely feledi &infint;, a komplementert pedig már véges sok is lefedi.

Határérték

1.

\lim\limits_{z\to i}\frac{z-i}{z^2+1}
\frac{z-i}{z^2+1}=\frac{z-i}{(z+i)(z-i)}=\frac{1}{z+i}\longrightarrow_{z\to i}\frac{1}{2i}

2.

\lim\limits_{z\to 0}\frac{1}{z}-\frac{2}{\overline{z}}=?,
\frac{1}{z}-\frac{2}{\overline{z}}=\frac{\overline{z}-2z}{z\overline{z}}

csak a valós részt nézve:

\left|\frac{-x}{x^2+y^2}\right|

az (x,y)=(x,0) esetben a (0,0)-hoz tartva: végtelen, de (x,y)=(0,y), akkor 0. tehát nincs.

Sorozatok, sorok

1.

\left(\frac{n+i}{n}\right)^n\to ?
\left(\frac{n+i}{n}\right)^n=\left(\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}\right)^n\cdot\left(\cos\left(n\,\mathrm{arc\,tg}\left(\frac{1}{n}\right)\right)+i\sin\left(n\,\mathrm{arc\,tg}\left(\frac{1}{n}\right)\right)\right)\to
\to \cos1+i\sin 1\,

Mert a szögfüggvények argumentumában lévő sorozat az 1-hez tart (pl L'Hospital-szabállyal majd átviteli elvvel ellenőrizhető), a első szorzó pedig az 1-ehez tart (rendőrelvvel).

2. Konvergens-e illetve abszolút konvergens-e?

\sum\left(\frac{i^n}{n}\right)

Elemi függvények

Exponenciális függvény


e^z=_{\mathrm{def}}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}\,

Ebbőkkiderül az exponenciális függvény sok tulajdonsága. Például, ha z = x + iy, akkor

e^{x+iy}=e^x\cdot e^{iy}=e^x\cdot (\cos y + i\sin y)\,

Ebből rögtön következik, hogy komplex exponenciális függvény periodikus, periódusa a p = 2πi:

e^{z+2\pi i}=e^z\cdot e^{2\pi i}=e^z\cdot e^0\cdot (\cos 2\pi + i\sin 2\pi)=e^z(1+0i)\,

Feladat. Oldjuk meg az

e^z=1+i\;

egyenletet!

Írjuk át 1+i-t exponenciális alakba:

1+i=e^{\ln \sqrt{2}}\cdot e^{i\frac{\pi}{4}}\,

így

z=\ln\sqrt{2} +i\frac{\pi}{4}+2\pi i\,

Feladat. Oldjuk meg az

e^{iz}+ie^{-4iz}=0\,

egyenletet!

Hatvány

i^{i}=e^{i\mathrm{ln}\,i}=e^{i(\mathrm{ln}\,1+\frac{i\pi}{2}+2\pi ik)}=e^{i\mathrm{ln}\,1-\frac{\pi}{2}-2\pi k}

Trigonometikus függvények

\sin z=_{\mathrm{def}}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nz^{2n+1}}{(2n+1)!}\,
\cos z=_{\mathrm{def}}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nz^{2n}}{(2n)!}\,

Világos, hogy valós φ-re:

e^{i\varphi}=\cos(\varphi)+i\sin(\varphi)\,

A hiperbolikus függvényekhez hasonlóan a trigonometrikus függvények is előállnak de a komplex exponenciális segítségével:

\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}
\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}

Feladat. Oldjuk meg az

\sin 4z=0\, ill
\sin z=2\,

egyenletet!

Hiperbolikus függvények

\mathrm{sh}\, z=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}
\mathrm{ch}\, z=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}

Feladat. Határozzuk meg az w = sh(iz) függvény valós és képzetes részét!

Feladat. Igazoljuk a definiáló sorokkal, hogy sin(iz) = i sh(z)

Személyes eszközök