Matematika A3a 2009/5. gyakorlat

Komplex számkör unicitása és reprezentációi

C, azaz a komplex számok teste kétdimenziós valós vektortér. C elemei reprezentálhatók az R² síkon, a következő megfeleltetésekkel:

$\mathbf{C}\ni a+bi\equiv (a,b)\in \mathbf{R}^2$

a vektortérműveletek pedig:

$\mathbf{C}\ni (a+bi)+(c+di)\equiv (a,b)+(c,d)\in \mathbf{R}^2$ vektorösszeadás (a, b, c, d ∈ R)

$\mathbf{C}\ni \lambda\cdot(a+bi)\equiv \lambda.(a,b)\in \mathbf{R}^2$ valós számmal való szorzás (λ, a, b ∈ R)

A komplex számok körét a komplex szorzás tulajdonságai egyértelműsítik. C nem csak kétdimenziós valós vektortér, de a szorzással algebra is, sőt C az egyetlen kétdimenziós kommutatív, nullosztómentes valós algebra -- izomorfizmus erejéig. Sok megjelenési formája lehet a komplex számoknak, de bármely két reprezentáció olyan, hogy található olyan kölcsönösen egyértelmű leképezés köztük, mely lineáris és megtartja a szorzást is (azaz algebra izomorfizmus).

A nullosztómentesség és a kommutativitás jellemzően a mátrixalgebrákban nemtriviális tulajdonság. A komplex számok olyan lineáris leképezéseknek felelnek meg, melyek mátrixa

$\begin{pmatrix} a & -b\\ b & a \end{pmatrix}$

A komplex számok szorzása itt a mátrixszorzás.

Ezek tényleg az R² forgatva nyújtásai, csak át kell térnünk trigonometrikus alakra:

$\begin{pmatrix} a & -b\\ b & a \end{pmatrix}=r\begin{pmatrix} \cos(\varphi) & -\sin(\varphi)\\ \sin(\varphi) & \cos(\varphi) \end{pmatrix}$

Topológia C-ben

C-ben, mint az R² sík elemein tehát értelmezhetjük a gömbi környezeteket, mint az R² sík pontjai körüli gömböket. Ezzel meg is kaptuk a C-beli nyílt halmazokat, azaz C topológiáját. A gömbök tehát a Gauss-számsík körlapjai:

$B_r(z)=\{w\in \mathbf{C}\mid |w-z|< r\}$

ahol z ∈ C, r > 0 valós szám.

Világos, hogy akármilyen R²-beli norma szerinti gömböket is választhattunk volna a C gömbjeinek, mert R²-ben minden norma ugyanazt a topológiát származtatja. Mi a ||.||₂-t, azaz az euklideszi normát emeltük ki.