Matematika A3a 2009/6. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→'''C'''-differenciálhatóság) |
||
24. sor: | 24. sor: | ||
#:<math>\begin{matrix}\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\\;\;\;\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\end{matrix}</math> | #:<math>\begin{matrix}\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\\;\;\;\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\end{matrix}</math> | ||
ami utóbbi egyenlőség azt fejezi ki, hogy <math>J</math><sup>f</sup> ∈ '''C''' és Cauchy--Riemann-egyenleteknek nevezik őket. | ami utóbbi egyenlőség azt fejezi ki, hogy <math>J</math><sup>f</sup> ∈ '''C''' és Cauchy--Riemann-egyenleteknek nevezik őket. | ||
+ | |||
+ | '''Példák''' | ||
+ | |||
+ | '''1.''' A hozzáadás, mint affin függvény '''R'''-differenciálható, és '''R'''-differenciálja az identitás: | ||
+ | :<math>a_w:z\mapsto w+ z\,</math> akkor <math>\mathrm{d}_\mathbf{R}(a_w)z=z</math> | ||
+ | '''2.''' A komplex számmal szorzás '''R'''-differenciálját közvetlenül a Jacobi-mátrixból számíthatjuk ki: | ||
+ | :<math>m_w:z\mapsto w\cdot z\,</math> akkor <math>\mathrm{J}_\mathbf{R}^{a_w}(z)=\begin{pmatrix} | ||
+ | w_1 & -w_2\\ | ||
+ | w_2 & w_1 | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | </math> | ||
+ | Rendkívül érdekes észrevétel tanúi lehetünk ekkor. ''z'' <math>\mapsto</math> ''w''<math>\cdot</math> ''z'' '''R'''-deriváltja maga ''w'' komplex számnak megfelelő mátrix, azaz | ||
+ | :<math>\mathrm{J}_\mathbf{R}^{a_w}(z)=w | ||
+ | </math> | ||
+ | ha mátrixreprezentációt veszünk. Sőt, visszanézve ez az összeadásra is igaz: | ||
+ | :<math>\mathrm{J}_\mathbf{R}^{a_w}(z)=\begin{pmatrix} | ||
+ | 1 & 0\\ | ||
+ | 0 & 1 | ||
+ | \end{pmatrix}</math> | ||
+ | |||
+ | '''3. ''' Számítsuk ki az ''f''(''z'') = ''z''<sup>2</sup> '''R'''-differenciálját! | ||
+ | |||
+ | Legyen ''z'' = ''x'' + i ''y''. Ekkor ''z''<sup>2</sup> = ''x''<sup>2</sup> - ''y''<sup>2</sup> +i(2''xy'') | ||
+ | :<math>\mathrm{J}_\mathbf{R}^f(x,y)=\begin{pmatrix} | ||
+ | 2x & -2y\\ | ||
+ | 2y & 2x | ||
+ | \end{pmatrix}=2z</math> | ||
+ | '''4.. ''' Számítsuk ki az <math>\scriptstyle{f(z)=\overline{z}}</math> '''R'''-differenciálját! | ||
+ | |||
+ | Ha ''z'' = ''x'' + i ''y'', akkor <math>\scriptstyle{\overline{z}=x-\mathrm{i}y}</math>, így: | ||
+ | :<math>\mathrm{J}_\mathbf{R}^\overline{z}=\begin{pmatrix} | ||
+ | 1 & 0\\ | ||
+ | 0 & -1 | ||
+ | \end{pmatrix}\notin\mathbf{C} </math> | ||
+ | tehát a konjugálás sehol sem differenciálható, bár mindenhol '''R'''-differenciálható. |
A lap 2009. október 29., 22:20-kori változata
C-differenciálhatóság
Legyen az
- f(z) = f(x + iy) =u(x + iy) +iv(x + iy)
függvény
- valósan parciálisan deriválható z0-ban, azaz az u és v függvények legyenek parciálisan deriválhatóak az (x0,y0) pontban és
- tegyük fel, hogy a Jacobi-mátrixa egy w ∈ C szám mátrixreprezentációja: Jf ∈ C
(1) Ekkor egyfelől, tekintsük a totális differenciálhatóságának deifiníciójában szereplő kifejezést:
Ah(z)=(z-z0)/|z-z0| függvényt kiemelve:
h(z) a komplex "egységgömbön" "futó" függvény, ezért hossza 1. Ha most feltesszük a komplex deriválhatóságot, azonnal kijön belőle, a korlátos x nullához tartó miatt ez a határététék 0, azaz a függvény totálisan diffható.
(2) Ha azonban a totális diffhaságot tesszük fel, akkor a |h(z)|=1 miatt:
a különbdségi hányadosfüggvény abszolút értékének határértéke is nulla, de ez pont azt jelenti, hogy komplex derivált is nulla.
Tehát:
Tétel Az f = u + vi, C ⊃ C függvénynek az z∈ Dom(f) belső pontja, akkor a következő két kijelentés ekvivalens egymással:
- f komplex differenciálható z-ben
- f totálisan R-differenciálható z-ban és
ami utóbbi egyenlőség azt fejezi ki, hogy Jf ∈ C és Cauchy--Riemann-egyenleteknek nevezik őket.
Példák
1. A hozzáadás, mint affin függvény R-differenciálható, és R-differenciálja az identitás:
- akkor
2. A komplex számmal szorzás R-differenciálját közvetlenül a Jacobi-mátrixból számíthatjuk ki:
- akkor
Rendkívül érdekes észrevétel tanúi lehetünk ekkor. z w z R-deriváltja maga w komplex számnak megfelelő mátrix, azaz
ha mátrixreprezentációt veszünk. Sőt, visszanézve ez az összeadásra is igaz:
3. Számítsuk ki az f(z) = z2 R-differenciálját!
Legyen z = x + i y. Ekkor z2 = x2 - y2 +i(2xy)
4.. Számítsuk ki az R-differenciálját!
Ha z = x + i y, akkor , így:
tehát a konjugálás sehol sem differenciálható, bár mindenhol R-differenciálható.