Matematika A3a 2009/6. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
 
(→'''C'''-differenciálhatóság)
24. sor: 24. sor:
 
#:<math>\begin{matrix}\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\\;\;\;\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\end{matrix}</math>
 
#:<math>\begin{matrix}\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\\;\;\;\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\end{matrix}</math>
 
ami utóbbi egyenlőség azt fejezi ki, hogy <math>J</math><sup>f</sup> &isin; '''C''' és Cauchy--Riemann-egyenleteknek nevezik őket.
 
ami utóbbi egyenlőség azt fejezi ki, hogy <math>J</math><sup>f</sup> &isin; '''C''' és Cauchy--Riemann-egyenleteknek nevezik őket.
 +
 +
'''Példák'''
 +
 +
'''1.''' A hozzáadás, mint affin függvény '''R'''-differenciálható, és '''R'''-differenciálja az identitás:
 +
:<math>a_w:z\mapsto w+ z\,</math> akkor <math>\mathrm{d}_\mathbf{R}(a_w)z=z</math>
 +
'''2.''' A komplex számmal szorzás '''R'''-differenciálját közvetlenül a Jacobi-mátrixból számíthatjuk ki:
 +
:<math>m_w:z\mapsto w\cdot z\,</math> akkor <math>\mathrm{J}_\mathbf{R}^{a_w}(z)=\begin{pmatrix}
 +
w_1 & -w_2\\
 +
w_2 & w_1
 +
\end{pmatrix}
 +
</math>
 +
Rendkívül érdekes észrevétel tanúi lehetünk ekkor. ''z'' <math>\mapsto</math> ''w''<math>\cdot</math> ''z'' '''R'''-deriváltja maga ''w'' komplex számnak megfelelő mátrix, azaz
 +
:<math>\mathrm{J}_\mathbf{R}^{a_w}(z)=w
 +
</math>
 +
ha mátrixreprezentációt veszünk. Sőt, visszanézve ez az összeadásra is igaz:
 +
:<math>\mathrm{J}_\mathbf{R}^{a_w}(z)=\begin{pmatrix}
 +
1 & 0\\
 +
0 & 1
 +
\end{pmatrix}</math>
 +
 +
'''3. ''' Számítsuk ki az ''f''(''z'') = ''z''<sup>2</sup> '''R'''-differenciálját!
 +
 +
Legyen ''z'' = ''x'' + i ''y''. Ekkor ''z''<sup>2</sup> = ''x''<sup>2</sup> - ''y''<sup>2</sup> +i(2''xy'')
 +
:<math>\mathrm{J}_\mathbf{R}^f(x,y)=\begin{pmatrix}
 +
2x & -2y\\
 +
2y & 2x
 +
\end{pmatrix}=2z</math>
 +
'''4.. ''' Számítsuk ki az  <math>\scriptstyle{f(z)=\overline{z}}</math> '''R'''-differenciálját!
 +
 +
Ha ''z'' = ''x'' + i ''y'', akkor <math>\scriptstyle{\overline{z}=x-\mathrm{i}y}</math>, így:
 +
:<math>\mathrm{J}_\mathbf{R}^\overline{z}=\begin{pmatrix}
 +
1 & 0\\
 +
0 & -1
 +
\end{pmatrix}\notin\mathbf{C} </math>
 +
tehát a konjugálás sehol sem differenciálható, bár mindenhol '''R'''-differenciálható.

A lap 2009. október 29., 22:20-kori változata

C-differenciálhatóság

Legyen az

f(z) = f(x + iy) =u(x + iy) +iv(x + iy)

függvény

  1. valósan parciálisan deriválható z0-ban, azaz az u és v függvények legyenek parciálisan deriválhatóak az (x0,y0) pontban és
  2. tegyük fel, hogy a Jacobi-mátrixa egy w ∈ C szám mátrixreprezentációja: Jf ∈ C

(1) Ekkor egyfelől, tekintsük a totális differenciálhatóságának deifiníciójában szereplő kifejezést:

\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)-w\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}=
=\lim\limits_{z\to z_0}\left(\frac{f(z)-f(z_0)}{|z-z_0|}-\frac{w\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}\right)=

Ah(z)=(z-z0)/|z-z0| függvényt kiemelve:

=\lim\limits_{z\to z_0}\left(h(z)\cdot \left(\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-w\right)\right)

h(z) a komplex "egységgömbön" "futó" függvény, ezért hossza 1. Ha most feltesszük a komplex deriválhatóságot, azonnal kijön belőle, a korlátos x nullához tartó miatt ez a határététék 0, azaz a függvény totálisan diffható.

(2) Ha azonban a totális diffhaságot tesszük fel, akkor a |h(z)|=1 miatt:

0=\lim\limits_{z\to z_0}|h(z)|\cdot \left|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-w\right|=\lim\limits_{z\to z_0}1\cdot \left|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-w\right|

a különbdségi hányadosfüggvény abszolút értékének határértéke is nulla, de ez pont azt jelenti, hogy komplex derivált is nulla.

Tehát:

Tétel Az f = u + vi, C ⊃\to C függvénynek az z∈ Dom(f) belső pontja, akkor a következő két kijelentés ekvivalens egymással:

  1. f komplex differenciálható z-ben
  2. f totálisan R-differenciálható z-ban és
    \begin{matrix}\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\\;\;\;\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\end{matrix}

ami utóbbi egyenlőség azt fejezi ki, hogy Jf ∈ C és Cauchy--Riemann-egyenleteknek nevezik őket.

Példák

1. A hozzáadás, mint affin függvény R-differenciálható, és R-differenciálja az identitás:

a_w:z\mapsto w+ z\, akkor \mathrm{d}_\mathbf{R}(a_w)z=z

2. A komplex számmal szorzás R-differenciálját közvetlenül a Jacobi-mátrixból számíthatjuk ki:

m_w:z\mapsto w\cdot z\, akkor \mathrm{J}_\mathbf{R}^{a_w}(z)=\begin{pmatrix} w_1 & -w_2\\ w_2 & w_1 \end{pmatrix}

Rendkívül érdekes észrevétel tanúi lehetünk ekkor. z \mapsto w\cdot z R-deriváltja maga w komplex számnak megfelelő mátrix, azaz

\mathrm{J}_\mathbf{R}^{a_w}(z)=w

ha mátrixreprezentációt veszünk. Sőt, visszanézve ez az összeadásra is igaz:

\mathrm{J}_\mathbf{R}^{a_w}(z)=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}

3. Számítsuk ki az f(z) = z2 R-differenciálját!

Legyen z = x + i y. Ekkor z2 = x2 - y2 +i(2xy)

\mathrm{J}_\mathbf{R}^f(x,y)=\begin{pmatrix} 2x & -2y\\ 2y & 2x \end{pmatrix}=2z

4.. Számítsuk ki az \scriptstyle{f(z)=\overline{z}} R-differenciálját!

Ha z = x + i y, akkor \scriptstyle{\overline{z}=x-\mathrm{i}y}, így:

\mathrm{J}_\mathbf{R}^\overline{z}=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\notin\mathbf{C}

tehát a konjugálás sehol sem differenciálható, bár mindenhol R-differenciálható.

A lap eredeti címe: „http://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Matematika_A3a_2009/6._gyakorlat&oldid=5697”
Személyes eszközök