Matematika A3a 2009/6. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Egyéb feltételek)
(Egyéb feltételek)
 
(egy szerkesztő 3 közbeeső változata nincs mutatva)
76. sor: 76. sor:
 
# <math>f(z)=\overline{z}z
 
# <math>f(z)=\overline{z}z
 
</math>
 
</math>
 +
#<math> f(x+iy)=|y|+i|x|\,</math>
 +
# <math>f(x+iy)=x^2+iy^3</math>
 
# <math>f(z)=\frac{z^3}{\overline{z}}
 
# <math>f(z)=\frac{z^3}{\overline{z}}
 
</math>, f(0)=0
 
</math>, f(0)=0
83. sor: 85. sor:
 
(1) f(x,y)=<math>x^2+y^2</math>, csak a 0-ban teljesülnek a C--R-feltételek, bár a függvény mindenhol folytonos. f ráadásul folyt. diffható, így a 0-ban komplex diffható, bár nem reguláris.
 
(1) f(x,y)=<math>x^2+y^2</math>, csak a 0-ban teljesülnek a C--R-feltételek, bár a függvény mindenhol folytonos. f ráadásul folyt. diffható, így a 0-ban komplex diffható, bár nem reguláris.
  
(2) <math>f(z)=\frac{x^4-x^2y^2+y^4}{x^2+y^2}+i\frac{x^3y+xy^3}{x^2+y^2}=x^2+y^2-\frac{4x^2y^2}{x^2+y^2}+ixy</math>
+
(2)
 +
 
 +
(3)
 +
 
 +
(4) <math>f(z)=\frac{x^4-x^2y^2+y^4}{x^2+y^2}+i\frac{x^3y+xy^3}{x^2+y^2}=x^2+y^2-\frac{4x^2y^2}{x^2+y^2}+ixy</math>
 
:<math>\partial_x(x^2+y^2-\frac{4x^2y^2}{x^2+y^2})=2x-\frac{8xy^2(x^2+y^2)-8x^3y^2}{(x^2+y^2)^2}=</math>
 
:<math>\partial_x(x^2+y^2-\frac{4x^2y^2}{x^2+y^2})=2x-\frac{8xy^2(x^2+y^2)-8x^3y^2}{(x^2+y^2)^2}=</math>
 
:<math>=2x-\frac{8x^2y^4}{(x^2+y^2)^2}</math>
 
:<math>=2x-\frac{8x^2y^4}{(x^2+y^2)^2}</math>
92. sor: 98. sor:
 
:<math>y=-x</math>
 
:<math>y=-x</math>
 
ebből x=1/2,y=-1/2 és z=0 ezekben a pontokban diffható, de nem reguláris.
 
ebből x=1/2,y=-1/2 és z=0 ezekben a pontokban diffható, de nem reguláris.
(3)  
+
 
 +
(5)  
 
:<math>\partial_x(\frac{xy}{x^2+y^2})=\frac{yx^2+y^3-2x^2y}{(x^2+y^2)}</math>
 
:<math>\partial_x(\frac{xy}{x^2+y^2})=\frac{yx^2+y^3-2x^2y}{(x^2+y^2)}</math>
 
:<math>\partial_y(\frac{xy}{x^2+y^2})=\frac{xy^2+x^3-2y^2x}{(x^2+y^2)}</math>
 
:<math>\partial_y(\frac{xy}{x^2+y^2})=\frac{xy^2+x^3-2y^2x}{(x^2+y^2)}</math>
 
:<math>\frac{yx^2+y^3-2x^2y}{(x^2+y^2)}=\frac{xy^2+x^3-2y^2x}{(x^2+y^2)}</math>
 
:<math>\frac{yx^2+y^3-2x^2y}{(x^2+y^2)}=\frac{xy^2+x^3-2y^2x}{(x^2+y^2)}</math>
:<math>\frac{yx^2+y^3-2x^2y}{(x^2+y^2)}=\-frac{xy^2+x^3-2y^2x}{(x^2+y^2)}</math>
+
:<math>\frac{yx^2+y^3-2x^2y}{(x^2+y^2)}=-\frac{xy^2+x^3-2y^2x}{(x^2+y^2)}</math>
 
:<math>yx^2+y^3-2x^2y=xy^2+x^3-2y^2x</math>
 
:<math>yx^2+y^3-2x^2y=xy^2+x^3-2y^2x</math>
 
:<math>yx^2+y^3-2x^2y=-xy^2-x^3+2y^2x</math>
 
:<math>yx^2+y^3-2x^2y=-xy^2-x^3+2y^2x</math>
102. sor: 109. sor:
 
:<math>y^2=2x^2-x^2=x^2</math>
 
:<math>y^2=2x^2-x^2=x^2</math>
 
:<math>x=\pm y</math>
 
:<math>x=\pm y</math>
0-ban nem
+
0-ban nem.
 +
 
 +
'''6.''' Hol folytonos, hol reguláris?
 +
# <math>f(z)=\frac{\frac{1-\cos z}{z^2}-\frac{1}{2}}{z^3}</math>, f(0)=0
 +
# <math>\frac{z}{\sin z}</math>, <math>f(k\pi)=1</math>

A lap jelenlegi, 2009. október 29., 22:43-kori változata

C-differenciálhatóság

Legyen az

f(z) = f(x + iy) =u(x + iy) +iv(x + iy)

függvény

  1. valósan parciálisan deriválható z0-ban, azaz az u és v függvények legyenek parciálisan deriválhatóak az (x0,y0) pontban és
  2. tegyük fel, hogy a Jacobi-mátrixa egy wC szám mátrixreprezentációja: JfC

(1) Ekkor egyfelől, tekintsük a totális differenciálhatóságának deifiníciójában szereplő kifejezést:

\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)-w\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}=
=\lim\limits_{z\to z_0}\left(\frac{f(z)-f(z_0)}{|z-z_0|}-\frac{w\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}\right)=

Ah(z)=(z-z0)/|z-z0| függvényt kiemelve:

=\lim\limits_{z\to z_0}\left(h(z)\cdot \left(\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-w\right)\right)

h(z) a komplex "egységgömbön" "futó" függvény, ezért hossza 1. Ha most feltesszük a komplex deriválhatóságot, azonnal kijön belőle, a korlátos x nullához tartó miatt ez a határététék 0, azaz a függvény totálisan diffható.

(2) Ha azonban a totális diffhaságot tesszük fel, akkor a |h(z)|=1 miatt:

0=\lim\limits_{z\to z_0}|h(z)|\cdot \left|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-w\right|=\lim\limits_{z\to z_0}1\cdot \left|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-w\right|

a különbdségi hányadosfüggvény abszolút értékének határértéke is nulla, de ez pont azt jelenti, hogy komplex derivált is nulla.

Tehát:

Tétel Az f = u + vi, C\to C függvénynek az z∈ Dom(f) belső pontja, akkor a következő két kijelentés ekvivalens egymással:

  1. f komplex differenciálható z-ben
  2. f totálisan R-differenciálható z-ban és
    \begin{matrix}\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\\;\;\;\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\end{matrix}

ami utóbbi egyenlőség azt fejezi ki, hogy JfC és Cauchy--Riemann-egyenleteknek nevezik őket.

Példák

1. A hozzáadás, mint affin függvény R-differenciálható, és R-differenciálja az identitás:

a_w:z\mapsto w+ z\, akkor \mathrm{d}_\mathbf{R}(a_w)z=z

2. A komplex számmal szorzás R-differenciálját közvetlenül a Jacobi-mátrixból számíthatjuk ki:

m_w:z\mapsto w\cdot z\, akkor \mathrm{J}_\mathbf{R}^{m_w}(z)=\begin{pmatrix}
w_1 & -w_2\\
w_2 & w_1
\end{pmatrix}

Rendkívül érdekes észrevétel tanúi lehetünk ekkor. z \mapsto w\cdotz R-deriváltja maga w komplex számnak megfelelő mátrix, azaz

\mathrm{J}_\mathbf{R}^{m_w}(z)=w

ha mátrixreprezentációt veszünk. Sőt, visszanézve ez az összeadásra is igaz:

\mathrm{J}_\mathbf{R}^{a_w}(z)=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}

3. Számítsuk ki az f(z) = z2 R-differenciálját!

Legyen z = x + i y. Ekkor z2 = x2 - y2 +i(2xy)

\mathrm{J}_\mathbf{R}^f(x,y)=\begin{pmatrix}
2x & -2y\\
2y & 2x
\end{pmatrix}=2z

4. Számítsuk ki az \scriptstyle{f(z)=\overline{z}} R-differenciálját!

Ha z = x + i y, akkor \scriptstyle{\overline{z}=x-\mathrm{i}y}, így:

\mathrm{J}_\mathbf{R}^\overline{z}=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}\notin\mathbf{C}

tehát a konjugálás sehol sem komplex differenciálható, bár mindenhol R-differenciálható.

Egyéb feltételek

Ahhoz, hogy egy f = u + iv függvény komplex differenciálható legyen egy pontban, elegendő, ha

  1. az u és a v parciálisan differenciálható a pont egy környezetében,
  2. abban a pontban folytonosan differenciálhatók és
  3. a Cauchy--Riemann-feltételek teljesülnek.

Reguláris egy komplex függvény egy pontban, ha pont egy környezetén mindenhol komplex differenciálható.

Megyjegyezzük, hogy egy komplex függvény egy pontban akkor és csak akkor reguláris, ha analitikus, azaz pozitív kitevőjű hatványsorba fejthető. (Egyfelől a hatványsorok differenciálhatóak a konvergenciakörük belsején, másfelől a Laurent-tétel következményeként minden reguláris függény Taylor-sorba feljthető).

Hasznos még az az észrevétel, hogy ha egy függvény egy kipontozott környezetben a pont körül pozitív kitevőjű hatványsorba fejthető, és a pontban folytonos, akkor reguláris.

5. Hol folytonos, hol komplex differenciálható és hol reguláris az alábbi függvény?

  1. f(z)=\overline{z}z
  2.  f(x+iy)=|y|+i|x|\,
  3. f(x + iy) = x2 + iy3
  4. f(z)=\frac{z^3}{\overline{z}}
, f(0)=0
  5. f(z)=f(x+iz)=\frac{xy}{x^2+y^2}+i\frac{xy}{x^2+y^2}
, ha z≠0 és f(0)=0

Mo. (1) f(x,y)=x2 + y2, csak a 0-ban teljesülnek a C--R-feltételek, bár a függvény mindenhol folytonos. f ráadásul folyt. diffható, így a 0-ban komplex diffható, bár nem reguláris.

(2)

(3)

(4) f(z)=\frac{x^4-x^2y^2+y^4}{x^2+y^2}+i\frac{x^3y+xy^3}{x^2+y^2}=x^2+y^2-\frac{4x^2y^2}{x^2+y^2}+ixy

\partial_x(x^2+y^2-\frac{4x^2y^2}{x^2+y^2})=2x-\frac{8xy^2(x^2+y^2)-8x^3y^2}{(x^2+y^2)^2}=
=2x-\frac{8x^2y^4}{(x^2+y^2)^2}

Ezért:

x=\frac{8x^2y^4}{(x^2+y^2)^2}, y=-\frac{8x^4y^2}{(x^2+y^2)^2}
\frac{x}{y^2}=-\frac{y}{x^2}
x3 + y3 = 0
y = − x

ebből x=1/2,y=-1/2 és z=0 ezekben a pontokban diffható, de nem reguláris.

(5)

\partial_x(\frac{xy}{x^2+y^2})=\frac{yx^2+y^3-2x^2y}{(x^2+y^2)}
\partial_y(\frac{xy}{x^2+y^2})=\frac{xy^2+x^3-2y^2x}{(x^2+y^2)}
\frac{yx^2+y^3-2x^2y}{(x^2+y^2)}=\frac{xy^2+x^3-2y^2x}{(x^2+y^2)}
\frac{yx^2+y^3-2x^2y}{(x^2+y^2)}=-\frac{xy^2+x^3-2y^2x}{(x^2+y^2)}
yx2 + y3 − 2x2y = xy2 + x3 − 2y2x
yx2 + y3 − 2x2y = − xy2x3 + 2y2x
yx2 + y3 − 2x2y = 0
y2 = 2x2x2 = x2
x=\pm y

0-ban nem.

6. Hol folytonos, hol reguláris?

  1. f(z)=\frac{\frac{1-\cos z}{z^2}-\frac{1}{2}}{z^3}, f(0)=0
  2. \frac{z}{\sin z}, f(kπ) = 1
Személyes eszközök