Matematika A3a 2009/6. gyakorlat

C-differenciálhatóság

Legyen az

f(z) = f(x + iy) =u(x + iy) +iv(x + iy)

függvény

1. valósan parciálisan deriválható z₀-ban, azaz az u és v függvények legyenek parciálisan deriválhatóak az (x₀,y₀) pontban és
2. tegyük fel, hogy a Jacobi-mátrixa egy w ∈ C szám mátrixreprezentációja: J^f ∈ C

(1) Ekkor egyfelől, tekintsük a totális differenciálhatóságának deifiníciójában szereplő kifejezést:

$\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)-w\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}=$

$=\lim\limits_{z\to z_0}\left(\frac{f(z)-f(z_0)}{|z-z_0|}-\frac{w\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}\right)=$

Ah(z)=(z-z₀)/|z-z₀| függvényt kiemelve:

$=\lim\limits_{z\to z_0}\left(h(z)\cdot \left(\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-w\right)\right)$

h(z) a komplex "egységgömbön" "futó" függvény, ezért hossza 1. Ha most feltesszük a komplex deriválhatóságot, azonnal kijön belőle, a korlátos x nullához tartó miatt ez a határététék 0, azaz a függvény totálisan diffható.

(2) Ha azonban a totális diffhaságot tesszük fel, akkor a |h(z)|=1 miatt:

$0=\lim\limits_{z\to z_0}|h(z)|\cdot \left|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-w\right|=\lim\limits_{z\to z_0}1\cdot \left|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-w\right|$

a különbdségi hányadosfüggvény abszolút értékének határértéke is nulla, de ez pont azt jelenti, hogy komplex derivált is nulla.

Tehát:

Tétel Az f = u + vi, C ⊃$\to$ C függvénynek az z∈ Dom(f) belső pontja, akkor a következő két kijelentés ekvivalens egymással:

1. f komplex differenciálható z-ben
2. f totálisan R-differenciálható z-ban és

   $\begin{matrix}\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\\;\;\;\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\end{matrix}$

ami utóbbi egyenlőség azt fejezi ki, hogy J^f ∈ C és Cauchy--Riemann-egyenleteknek nevezik őket.

Példák

1. A hozzáadás, mint affin függvény R-differenciálható, és R-differenciálja az identitás:

$a_w:z\mapsto w+ z\,$ akkor $\mathrm{d}_\mathbf{R}(a_w)z=z$

2. A komplex számmal szorzás R-differenciálját közvetlenül a Jacobi-mátrixból számíthatjuk ki:

$m_w:z\mapsto w\cdot z\,$ akkor $\mathrm{J}_\mathbf{R}^{a_w}(z)=\begin{pmatrix} w_1 & -w_2\\ w_2 & w_1 \end{pmatrix}$

Rendkívül érdekes észrevétel tanúi lehetünk ekkor. z $\mapsto$ w$\cdot$ z R-deriváltja maga w komplex számnak megfelelő mátrix, azaz

$\mathrm{J}_\mathbf{R}^{a_w}(z)=w$

ha mátrixreprezentációt veszünk. Sőt, visszanézve ez az összeadásra is igaz:

$\mathrm{J}_\mathbf{R}^{a_w}(z)=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

3. Számítsuk ki az f(z) = z² R-differenciálját!

Legyen z = x + i y. Ekkor z² = x² - y² +i(2xy)

$\mathrm{J}_\mathbf{R}^f(x,y)=\begin{pmatrix} 2x & -2y\\ 2y & 2x \end{pmatrix}=2z$

4.. Számítsuk ki az $\scriptstyle{f(z)=\overline{z}}$ R-differenciálját!

Ha z = x + i y, akkor $\scriptstyle{\overline{z}=x-\mathrm{i}y}$, így:

$\mathrm{J}_\mathbf{R}^\overline{z}=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\notin\mathbf{C}$

tehát a konjugálás sehol sem differenciálható, bár mindenhol R-differenciálható.