Matematika A3a 2009/7. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
 
(Komplex integrál)
26. sor: 26. sor:
 
De szerencsére a komplex analízisben van is van Newton--Leibniz formula:
 
De szerencsére a komplex analízisben van is van Newton--Leibniz formula:
 
:<math>F(z)=z^3,\quad F(-1)-F(1)=-1-1=-2</math>
 
:<math>F(z)=z^3,\quad F(-1)-F(1)=-1-1=-2</math>
 +
'''Tétel (Newton--Leibniz)''' Ha ''f'': ''D'' <math> \to</math> '''C''' folytonos a ''D'' nyílt halmazon és létezik primitív függvénye, akkor minden a ''D''-ben haladó &Gamma;[a,b] <math>\to</math> '''C''' görére:
 +
:<math>\int\limits_{\Gamma}f(z)\mathrm{d}z=F(z(b))-F(z(a))</math>
 +
ahol &Gamma; kezdő és végpontja z(a) és z(b).

A lap 2009. november 4., 13:11-kori változata

Komplex integrál

Definíció szerint, ha f: D  \to C egy nyílt tartományon értelmezett függvény és Γ:[a,b]  \to C folytonosan differenciálható görbe, akkor a f integrálja a Γ mentén:

\begin{matrix}
\sum\limits_{i=1}^nf(\zeta_i)\cdot \Delta z_i & \longrightarrow & \int\limits_{\Gamma}f(z)\,\mathrm{d}z\\
 & n\to \infty & \\
 & \forall z_i\in \Gamma, \;\forall \zeta_i\in \Delta z_i &\\
 & |\Delta z_i|\to 0 &  
\end{matrix}

Fontos, hogy a fenti definícióban az f(z) Δz egy komplex szorzat.

Persze itt olyan fogalmakkal dolgozunk, amelyeket nyugodtan átfogalmazhatunk egy vonalintegrál párrá, a következőképpen. Tekintsük az f = u + v i függvényt és a dz = dx + i dy szimbólumot. Ekkort fdz komplex formális szorzát elvégezve kapjuk, hogy:

\int\limits_{\Gamma}f(z)\mathrm{d}z = \int\limits_{\Gamma} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{\Gamma} u\mathrm{d}y+v\mathrm{d }x

A vonalintegál kiszámítására vonatkozó formula komplex változata az lesz, hogy:

\int\limits_{\Gamma}f(z)\mathrm{d}z=\int\limits_{t=a}^{b}f(z(t))\cdot z'(t)\,\mathrm{d}t

Itt z(t)=Γ(t). De így ritkán számolunk komplex integrált.

Példa.

\int\limits_{|z|=1,\;\mathrm{Re}(z)\geq 0}3z^2\;\mathrm{d}z=\int\limits_{t=0}^{\pi}3e^{2it}ie^{it}\,\mathrm{d}t=

hiszen a paraméterezés z(t)=eit, t ∈ [0,π]. Egy vektorértékű valós változós függvényt komponensenként integrálunk:

=\int\limits_{t=0}^{\pi}3ie^{3it}\,\mathrm{d}t=\int\limits_{t=0}^{\pi}3i(\cos(3t)+i\sin(3t))\,\mathrm{d}t=
=3i\int\limits_{t=0}^{\pi}\cos(3t)\,\mathrm{d}t-3\int\limits_{t=0}^{\pi}\sin(3t)\,\mathrm{d}t=\cos(3\pi)-\cos(0)=-2

De szerencsére a komplex analízisben van is van Newton--Leibniz formula:

F(z)=z^3,\quad F(-1)-F(1)=-1-1=-2

Tétel (Newton--Leibniz) Ha f: D  \to C folytonos a D nyílt halmazon és létezik primitív függvénye, akkor minden a D-ben haladó Γ[a,b] \to C görére:

\int\limits_{\Gamma}f(z)\mathrm{d}z=F(z(b))-F(z(a))

ahol Γ kezdő és végpontja z(a) és z(b).

Személyes eszközök