Matematika A3a 2009/7. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Komplex integrál) |
||
26. sor: | 26. sor: | ||
De szerencsére a komplex analízisben van is van Newton--Leibniz formula: | De szerencsére a komplex analízisben van is van Newton--Leibniz formula: | ||
:<math>F(z)=z^3,\quad F(-1)-F(1)=-1-1=-2</math> | :<math>F(z)=z^3,\quad F(-1)-F(1)=-1-1=-2</math> | ||
+ | '''Tétel (Newton--Leibniz)''' Ha ''f'': ''D'' <math> \to</math> '''C''' folytonos a ''D'' nyílt halmazon és létezik primitív függvénye, akkor minden a ''D''-ben haladó Γ[a,b] <math>\to</math> '''C''' görére: | ||
+ | :<math>\int\limits_{\Gamma}f(z)\mathrm{d}z=F(z(b))-F(z(a))</math> | ||
+ | ahol Γ kezdő és végpontja z(a) és z(b). |
A lap 2009. november 4., 13:11-kori változata
Komplex integrál
Definíció szerint, ha f: D C egy nyílt tartományon értelmezett függvény és Γ:[a,b] C folytonosan differenciálható görbe, akkor a f integrálja a Γ mentén:
Fontos, hogy a fenti definícióban az f(z) Δz egy komplex szorzat.
Persze itt olyan fogalmakkal dolgozunk, amelyeket nyugodtan átfogalmazhatunk egy vonalintegrál párrá, a következőképpen. Tekintsük az f = u + v i függvényt és a dz = dx + i dy szimbólumot. Ekkort fdz komplex formális szorzát elvégezve kapjuk, hogy:
A vonalintegál kiszámítására vonatkozó formula komplex változata az lesz, hogy:
Itt z(t)=Γ(t). De így ritkán számolunk komplex integrált.
Példa.
hiszen a paraméterezés z(t)=eit, t ∈ [0,π]. Egy vektorértékű valós változós függvényt komponensenként integrálunk:
De szerencsére a komplex analízisben van is van Newton--Leibniz formula:
Tétel (Newton--Leibniz) Ha f: D C folytonos a D nyílt halmazon és létezik primitív függvénye, akkor minden a D-ben haladó Γ[a,b] C görére:
ahol Γ kezdő és végpontja z(a) és z(b).