Matematika A3a 2009/7. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Komplex integrál)
(Komplex integrál)
29. sor: 29. sor:
 
:<math>\int\limits_{\Gamma}f(z)\mathrm{d}z=F(z(b))-F(z(a))</math>
 
:<math>\int\limits_{\Gamma}f(z)\mathrm{d}z=F(z(b))-F(z(a))</math>
 
ahol &Gamma; kezdő és végpontja z(a) és z(b).
 
ahol &Gamma; kezdő és végpontja z(a) és z(b).
 +
 +
'''Példák.'''
 +
:<math>\oint\limits_{|z|=1}\frac{1}{z^2}\,\mathrm{d}z=F(1)-F(1)=-\frac{1}{1}+\frac{1}{1}=0</math>
 +
hiszen F(z)=-1/z-vel F'=f.
 +
 +
:<math>\oint\limits_{|z|=1} \frac{1}{z}\,\mathrm{d}z=\mathrm{ln}(e^{2\pi i})-\mathrm{ln}(e^{0})=2\pi i\,</math>
 +
ahol ln 1-et kétféleképpen, egyfelől az első, másfelől a második Riemann-levélen számoltuk ki.

A lap 2009. november 4., 13:26-kori változata

Komplex integrál

Definíció szerint, ha f: D  \to C egy nyílt tartományon értelmezett függvény és Γ:[a,b]  \to C folytonosan differenciálható görbe, akkor a f integrálja a Γ mentén:

\begin{matrix}
\sum\limits_{i=1}^nf(\zeta_i)\cdot \Delta z_i & \longrightarrow & \int\limits_{\Gamma}f(z)\,\mathrm{d}z\\
 & n\to \infty & \\
 & \forall z_i\in \Gamma, \;\forall \zeta_i\in \Delta z_i &\\
 & |\Delta z_i|\to 0 &  
\end{matrix}

Fontos, hogy a fenti definícióban az f(z) Δz egy komplex szorzat.

Persze itt olyan fogalmakkal dolgozunk, amelyeket nyugodtan átfogalmazhatunk egy vonalintegrál párrá, a következőképpen. Tekintsük az f = u + v i függvényt és a dz = dx + i dy szimbólumot. Ekkort fdz komplex formális szorzát elvégezve kapjuk, hogy:

\int\limits_{\Gamma}f(z)\mathrm{d}z = \int\limits_{\Gamma} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{\Gamma} u\mathrm{d}y+v\mathrm{d }x

A vonalintegál kiszámítására vonatkozó formula komplex változata az lesz, hogy:

\int\limits_{\Gamma}f(z)\mathrm{d}z=\int\limits_{t=a}^{b}f(z(t))\cdot z'(t)\,\mathrm{d}t

Itt z(t)=Γ(t). De így ritkán számolunk komplex integrált.

Példa.

\int\limits_{|z|=1,\;\mathrm{Re}(z)\geq 0}3z^2\;\mathrm{d}z=\int\limits_{t=0}^{\pi}3e^{2it}ie^{it}\,\mathrm{d}t=

hiszen a paraméterezés z(t)=eit, t ∈ [0,π]. Egy vektorértékű valós változós függvényt komponensenként integrálunk:

=\int\limits_{t=0}^{\pi}3ie^{3it}\,\mathrm{d}t=\int\limits_{t=0}^{\pi}3i(\cos(3t)+i\sin(3t))\,\mathrm{d}t=
=3i\int\limits_{t=0}^{\pi}\cos(3t)\,\mathrm{d}t-3\int\limits_{t=0}^{\pi}\sin(3t)\,\mathrm{d}t=\cos(3\pi)-\cos(0)=-2

De szerencsére a komplex analízisben van is van Newton--Leibniz formula:

F(z)=z^3,\quad F(-1)-F(1)=-1-1=-2

Tétel (Newton--Leibniz) Ha f: D  \to C folytonos a D nyílt halmazon és létezik primitív függvénye, akkor minden a D-ben haladó Γ[a,b] \to C görére:

\int\limits_{\Gamma}f(z)\mathrm{d}z=F(z(b))-F(z(a))

ahol Γ kezdő és végpontja z(a) és z(b).

Példák.

\oint\limits_{|z|=1}\frac{1}{z^2}\,\mathrm{d}z=F(1)-F(1)=-\frac{1}{1}+\frac{1}{1}=0

hiszen F(z)=-1/z-vel F'=f.

\oint\limits_{|z|=1} \frac{1}{z}\,\mathrm{d}z=\mathrm{ln}(e^{2\pi i})-\mathrm{ln}(e^{0})=2\pi i\,

ahol ln 1-et kétféleképpen, egyfelől az első, másfelől a második Riemann-levélen számoltuk ki.

Személyes eszközök