Matematika A3a 2009/7. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Newton--Leibniz-tétel)
(Cauchy-tétel)
52. sor: 52. sor:
 
ahol ln 1-et kétféleképpen, egyfelől az első, másfelől a második Riemann-levélen számoltuk ki. A logaritmus Riemann-felületén a logaritmus ugyanis már egyértékű.
 
ahol ln 1-et kétféleképpen, egyfelől az első, másfelől a második Riemann-levélen számoltuk ki. A logaritmus Riemann-felületén a logaritmus ugyanis már egyértékű.
 
===Cauchy-tétel===
 
===Cauchy-tétel===
 +
 +
A síkon a Stokes- és a Gauss-tétel közül elegendő csak az egyiket ismernünk, mert igazolható, hogy az egyik tétel átfogalmazható a másikba (lásd Serény György: Formális és személetes vektoranalízis). A rotáció és a divergencia ugyan különböznek egymástól, de szintén igazolható, hogy bizonyos értelemben egymással azonosíthatóak. 
 +
 +
Legyen f reguláris az egyszeresen összefüggő ''U'' tartományon és legyen Γ tetszőleges egyszerű, zárt görbe ''D'' ⊆ ''U'' határa. Írjuk fel a Stokes-tételt!
 +
 +
:<math>\oint\limits_{\Gamma} f(z)\,\mathrm{d}z=\oint\limits_{\Gamma} (u,-v) \,\mathrm{d}r+i\oint\limits_{\Gamma} (v,u) \,\mathrm{d}r=*</math>
 +
::<math>\mathrm{rot}\,(u,-v)= \frac{\partial u}{\partial y}-\frac{\partial (-v)}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}=0</math>
 +
::<math>\mathrm{rot}\,(v,u)= \frac{\partial v}{\partial y}-\frac{\partial u}{\partial x}=0</math>
 +
:<math>*=\oint\limits_{D} 0\,\mathrm{d}F+i\oint\limits_{D} 0 \,\mathrm{d}F=0</math>
 +
 +
A meglepő, hogy a Goursat-tétel miatt ez a tétel akkor is igaz, ha ''f''-ről nem tesszük fel azt, amit a Stokes-tétel, azaz hogy folytonosan differenciálható.
  
 
==Cauchy-típusú integrálok==
 
==Cauchy-típusú integrálok==

A lap 2009. november 5., 14:57-kori változata

Tartalomjegyzék

Komplex integrál

A komplex integrálás egy bizonyos pontig szoros párhuzamot mutat az R2-re vonatkozó integráltételekkel. Azonban Goursat eredményét figyelembe véve kiderül, hogy a nyílt halmazon értelmezett komplex differenciálható függvények egyetéen differenciálhatósági osztályt alkotnak (a valósokkal szemben), éspedig az analitikust, amit ezesetben regulárisnak neveznek.

Definíció szerint, ha f: D  \to C egy nyílt tartományon értelmezett függvény és Γ:[a,b]  \to C folytonosan differenciálható görbe, akkor a f integrálja a Γ mentén:

\begin{matrix}
\sum\limits_{i=1}^nf(\zeta_i)\cdot \Delta z_i & \longrightarrow & \int\limits_{\Gamma}f(z)\,\mathrm{d}z\\
 & n\to \infty & \\
 & \forall z_i\in \Gamma, \;\forall \zeta_i\in \Delta z_i &\\
 & |\Delta z_i|\to 0 &  
\end{matrix}

Fontos, hogy a fenti definícióban az f(z) Δz egy komplex szorzat.

Persze itt olyan fogalmakkal dolgozunk, amelyeket nyugodtan átfogalmazhatunk egy vonalintegrál párrá, a következőképpen. Tekintsük az f = u + v i függvényt és a dz = dx + i dy szimbólumot. Ekkort fdz komplex formális szorzát elvégezve kapjuk, hogy:

\int\limits_{\Gamma}f(z)\mathrm{d}z = \int\limits_{\Gamma} u\,\mathrm{d}x-v\,\mathrm{d }y + i\int\limits_{\Gamma} u\,\mathrm{d}y+v\,\mathrm{d }x=
=\int\limits_{\Gamma}(u,-v)\,\mathrm{d}r+i\int\limits_{\Gamma}(v,u)\,\mathrm{d}r

Integrál kiszámítása paraméteresen

A vonalintegál kiszámítására vonatkozó formula komplex változata az lesz, hogy:

\int\limits_{\Gamma}f(z)\mathrm{d}z=\int\limits_{t=a}^{b}f(z(t))\cdot z'(t)\,\mathrm{d}t

Itt z(t)=Γ(t). De így ritkán számolunk komplex integrált.

Példa.

\int\limits_{|z|=1,\;\mathrm{Re}(z)\geq 0}3z^2\;\mathrm{d}z=\int\limits_{t=0}^{\pi}3e^{2it}ie^{it}\,\mathrm{d}t=

hiszen a paraméterezés z(t)=eit, t ∈ [0,π]. Egy vektorértékű valós változós függvényt komponensenként integrálunk:

=\int\limits_{t=0}^{\pi}3ie^{3it}\,\mathrm{d}t=\int\limits_{t=0}^{\pi}3i(\cos(3t)+i\sin(3t))\,\mathrm{d}t=
=3i\int\limits_{t=0}^{\pi}\cos(3t)\,\mathrm{d}t-3\int\limits_{t=0}^{\pi}\sin(3t)\,\mathrm{d}t=\cos(3\pi)-\cos(0)=-2

De szerencsére a komplex analízisben van is van Newton--Leibniz formula:

F(z)=z^3,\quad F(-1)-F(1)=-1-1=-2

Newton--Leibniz-tétel

R2 vektorfüggvényeinek integrálása könnyen elvégezhető, ha feltesszük hogy az integrandusnak van potenciálja. Ekkor az első gradiens tételre kell hivatkoznunk. Komplex esetben ez az összefüggés a valós N--L-formula alakját ölti.

Tétel (Newton--Leibniz) Ha f: D  \to C folytonos a D nyílt halmazon és létezik primitív függvénye, akkor minden a D-ben haladó Γ[a,b] \to C görére:

\int\limits_{\Gamma}f(z)\mathrm{d}z=F(z(b))-F(z(a))

ahol Γ kezdő és végpontja z(a) és z(b).

Biz. Tegyük fel, hogy F'=f és legyen F = (Φ,Ψ), f=(u,v). Ekkor F deriváltja azonosítható a (Φ,Ψ) vektorfüggvény Jacobi-mátrixával, ami a feltevés szerint folytonos és egyenlő f=(u,v) mátrixalakjával.

\mathrm{J}^{\Phi \choose \Psi}=\begin{bmatrix}u & -v \\ v & u\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\mathrm{grad}\;\Phi \\ \mathrm{grad}\,\Psi\end{bmatrix}

Mindkét komponensre felírhatjuk tehát az első gadiens tételt, és kapjuk: \int\limits_{\Gamma}f(z)\mathrm{d}z=\int\limits_{\Gamma}(u,-v)\,\mathrm{d}r+i\int\limits_{\Gamma}(v,u)\mathrm{d}r=

=\int\limits_{\Gamma}\mathrm{grad}\,\Phi\,\mathrm{d}r+i\int\limits_{\Gamma}\mathrm{grad}\,\Psi\,\mathrm{d}r=\Phi(2)-\Phi(1)+i(\Psi(2)-\Psi(1))=F(2)-F(1)

Példák.

\oint\limits_{|z|=1}\frac{1}{z^2}\,\mathrm{d}z=F(1)-F(1)=-\frac{1}{1}+\frac{1}{1}=0

hiszen F(z)=-1/z-vel F'=f.

\oint\limits_{|z|=1} \frac{1}{z}\,\mathrm{d}z=\mathrm{ln}(e^{2\pi i})-\mathrm{ln}(e^{0})=2\pi i\,

ahol ln 1-et kétféleképpen, egyfelől az első, másfelől a második Riemann-levélen számoltuk ki. A logaritmus Riemann-felületén a logaritmus ugyanis már egyértékű.

Cauchy-tétel

A síkon a Stokes- és a Gauss-tétel közül elegendő csak az egyiket ismernünk, mert igazolható, hogy az egyik tétel átfogalmazható a másikba (lásd Serény György: Formális és személetes vektoranalízis). A rotáció és a divergencia ugyan különböznek egymástól, de szintén igazolható, hogy bizonyos értelemben egymással azonosíthatóak.

Legyen f reguláris az egyszeresen összefüggő U tartományon és legyen Γ tetszőleges egyszerű, zárt görbe DU határa. Írjuk fel a Stokes-tételt!

\oint\limits_{\Gamma} f(z)\,\mathrm{d}z=\oint\limits_{\Gamma} (u,-v) \,\mathrm{d}r+i\oint\limits_{\Gamma} (v,u) \,\mathrm{d}r=*
\mathrm{rot}\,(u,-v)= \frac{\partial u}{\partial y}-\frac{\partial (-v)}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}=0
\mathrm{rot}\,(v,u)= \frac{\partial v}{\partial y}-\frac{\partial u}{\partial x}=0
*=\oint\limits_{D} 0\,\mathrm{d}F+i\oint\limits_{D} 0 \,\mathrm{d}F=0

A meglepő, hogy a Goursat-tétel miatt ez a tétel akkor is igaz, ha f-ről nem tesszük fel azt, amit a Stokes-tétel, azaz hogy folytonosan differenciálható.

Cauchy-típusú integrálok

Személyes eszközök