Matematika A3a 2009/7. gyakorlat

Komplex integrál

Definíció szerint, ha f: D $\to$ C egy nyílt tartományon értelmezett függvény és Γ:[a,b] $\to$ C folytonosan differenciálható görbe, akkor a f integrálja a Γ mentén:

$\begin{matrix} \sum\limits_{i=1}^nf(\zeta_i)\cdot \Delta z_i & \longrightarrow & \int\limits_{\Gamma}f(z)\,\mathrm{d}z\\ & n\to \infty & \\ & \forall z_i\in \Gamma, \;\forall \zeta_i\in \Delta z_i &\\ & |\Delta z_i|\to 0 & \end{matrix}$

Fontos, hogy a fenti definícióban az f(z) Δz egy komplex szorzat.

Persze itt olyan fogalmakkal dolgozunk, amelyeket nyugodtan átfogalmazhatunk egy vonalintegrál párrá, a következőképpen. Tekintsük az f = u + v i függvényt és a dz = dx + i dy szimbólumot. Ekkort fdz komplex formális szorzát elvégezve kapjuk, hogy:

$\int\limits_{\Gamma}f(z)\mathrm{d}z = \int\limits_{\Gamma} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{\Gamma} u\mathrm{d}y+v\mathrm{d }x$

A vonalintegál kiszámítására vonatkozó formula komplex változata az lesz, hogy:

$\int\limits_{\Gamma}f(z)\mathrm{d}z=\int\limits_{t=a}^{b}f(z(t))\cdot z'(t)\,\mathrm{d}t$

Itt z(t)=Γ(t). De így ritkán számolunk komplex integrált.

Példa.

$\int\limits_{|z|=1,\;\mathrm{Re}(z)\geq 0}3z^2\;\mathrm{d}z=\int\limits_{t=0}^{\pi}3e^{2it}ie^{it}\,\mathrm{d}t=$

hiszen a paraméterezés z(t)=e^it, t ∈ [0,π]. Egy vektorértékű valós változós függvényt komponensenként integrálunk:

$=\int\limits_{t=0}^{\pi}3ie^{3it}\,\mathrm{d}t=\int\limits_{t=0}^{\pi}3i(\cos(3t)+i\sin(3t))\,\mathrm{d}t=$

$=3i\int\limits_{t=0}^{\pi}\cos(3t)\,\mathrm{d}t-3\int\limits_{t=0}^{\pi}\sin(3t)\,\mathrm{d}t=\cos(3\pi)-\cos(0)=-2$

De szerencsére a komplex analízisben van is van Newton--Leibniz formula:

$F(z)=z^3,\quad F(-1)-F(1)=-1-1=-2$