Matematika A3a 2009/8. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Egész kitevőjű hatványsor) |
||
1. sor: | 1. sor: | ||
==Egész kitevőjű hatványsor== | ==Egész kitevőjű hatványsor== | ||
− | ''' | + | '''1. Feladat''' Igazoljuk, hogy ha ∑<sub>-∞</sub><sup>∞</sup><math>c_n(z-z_0)^n</math> hatványsornak a <math>z_0</math>-ban izolált szingularitása van, máshol reguláris, akkor |
:<math>\oint\limits_{G}\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(z-z_0)^n\,\mathrm{d}z=2\pi i c_{-1}</math> | :<math>\oint\limits_{G}\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(z-z_0)^n\,\mathrm{d}z=2\pi i c_{-1}</math> | ||
9. sor: | 9. sor: | ||
mert a primitív függvénnyel rendelkező tagok integráljai nullák. | mert a primitív függvénnyel rendelkező tagok integráljai nullák. | ||
− | ''' | + | '''2. Feladat.''' (Riemann-tétel) Igazoljuk, hogy ha f korlátos, <math>z_0</math>-ban szingularis és máshol reguláris, akkor a körintegrálja eltűnik. |
''Mo.'' Belátjuk, az ''f'' Laurent-sorának főrésze eltűnik. Az Laurent-sor együtthatóformuláiból, k < 0 egészre és K<sub>r</sub> egy 0 < r < 1 sugarú körre: | ''Mo.'' Belátjuk, az ''f'' Laurent-sorának főrésze eltűnik. Az Laurent-sor együtthatóformuláiból, k < 0 egészre és K<sub>r</sub> egy 0 < r < 1 sugarú körre: | ||
19. sor: | 19. sor: | ||
f-tehát kiterjeszthető U-n reguláris függvénnyé, így a Cauchy-tétel miatt minden körintegrálja eltűnik. Vagy egyszerűbben: f reziduuma a megszüntethető szingularitási helyen 0. | f-tehát kiterjeszthető U-n reguláris függvénnyé, így a Cauchy-tétel miatt minden körintegrálja eltűnik. Vagy egyszerűbben: f reziduuma a megszüntethető szingularitási helyen 0. | ||
− | ''' | + | '''3. Feladat''' |
:<math>\oint\limits_{|z|=1}\frac{z^2}{1-\cos z}\,\mathrm{d}z=?</math> | :<math>\oint\limits_{|z|=1}\frac{z^2}{1-\cos z}\,\mathrm{d}z=?</math> | ||
''Mo.'' Megnézzük az értelmezési tartományt! | ''Mo.'' Megnézzük az értelmezési tartományt! | ||
32. sor: | 32. sor: | ||
A maradék kompakton folytonos, így korlátos, tehát az előző tétel értelmében a körintegrálja eltűnik. | A maradék kompakton folytonos, így korlátos, tehát az előző tétel értelmében a körintegrálja eltűnik. | ||
− | ''' | + | '''4. Feladat.''' |
:<math>\oint\limits_{|z|=1}\frac{1}{\sin 2z}\,\mathrm{d}z=?</math> | :<math>\oint\limits_{|z|=1}\frac{1}{\sin 2z}\,\mathrm{d}z=?</math> | ||
A lap 2009. november 6., 12:09-kori változata
Egész kitevőjű hatványsor
1. Feladat Igazoljuk, hogy ha ∑-∞∞cn(z − z0)n hatványsornak a z0-ban izolált szingularitása van, máshol reguláris, akkor
Mo. Ugyanis,
mert a primitív függvénnyel rendelkező tagok integráljai nullák.
2. Feladat. (Riemann-tétel) Igazoljuk, hogy ha f korlátos, z0-ban szingularis és máshol reguláris, akkor a körintegrálja eltűnik.
Mo. Belátjuk, az f Laurent-sorának főrésze eltűnik. Az Laurent-sor együtthatóformuláiból, k < 0 egészre és Kr egy 0 < r < 1 sugarú körre:
ahol K az f korlátja. Itt felhasználtuk, hogy xk − 1 < 1, ha 0 < x < 1. Ha pedig r-rel tartunk a 0-hoz, az együttható eltűnik.
f-tehát kiterjeszthető U-n reguláris függvénnyé, így a Cauchy-tétel miatt minden körintegrálja eltűnik. Vagy egyszerűbben: f reziduuma a megszüntethető szingularitási helyen 0.
3. Feladat
Mo. Megnézzük az értelmezési tartományt!
- , ,
- ,
Tehát a kör lapon értelmes kivéve a 0-t, ahol viszont korlátos egy környezetben:
A maradék kompakton folytonos, így korlátos, tehát az előző tétel értelmében a körintegrálja eltűnik.
4. Feladat.
Mo.
Tudjuk,
emiatt zf(z) már reguláris, ezért a Laurent-sorában a főrészben egyedül a c-1-hez tartozó tag van.
- ,