Matematika A3a 2009/8. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Egész kitevőjű hatványsor) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Egész kitevőjű hatványsor) |
||
35. sor: | 35. sor: | ||
:<math>\oint\limits_{|z|=1}\frac{1}{\sin 2z}\,\mathrm{d}z=?</math> | :<math>\oint\limits_{|z|=1}\frac{1}{\sin 2z}\,\mathrm{d}z=?</math> | ||
− | ''Mo.'' | + | ''Mo.'' Tudjuk, |
− | + | ||
− | Tudjuk, | + | |
:<math>\lim\limits_{z\to 0}\frac{\sin 2z}{z}=2</math> | :<math>\lim\limits_{z\to 0}\frac{\sin 2z}{z}=2</math> | ||
emiatt zf(z) már reguláris, ezért a Laurent-sorában a főrészben egyedül a c<sub>-1</sub>-hez tartozó tag van. | emiatt zf(z) már reguláris, ezért a Laurent-sorában a főrészben egyedül a c<sub>-1</sub>-hez tartozó tag van. |
A lap 2009. november 6., 19:17-kori változata
Egész kitevőjű hatványsor
1. Feladat Igazoljuk, hogy ha ∑-∞∞cn(z − z0)n hatványsornak a z0-ban izolált szingularitása van, máshol reguláris, akkor
Mo. Ugyanis,
mert a primitív függvénnyel rendelkező tagok integráljai nullák.
2. Feladat. (Riemann-tétel) Igazoljuk, hogy ha f korlátos, z0-ban szingularis és máshol reguláris, akkor a körintegrálja eltűnik.
Mo. Belátjuk, az f Laurent-sorának főrésze eltűnik. Az Laurent-sor együtthatóformuláiból, k < 0 egészre és Kr egy 0 < r < 1 sugarú körre:
ahol K az f korlátja. Itt felhasználtuk, hogy xk − 1 < 1, ha 0 < x < 1. Ha pedig r-rel tartunk a 0-hoz, az együttható eltűnik.
f-tehát kiterjeszthető U-n reguláris függvénnyé, így a Cauchy-tétel miatt minden körintegrálja eltűnik. Vagy egyszerűbben: f reziduuma a megszüntethető szingularitási helyen 0.
3. Feladat
Mo. Megnézzük az értelmezési tartományt!
- , ,
- ,
Tehát a kör lapon értelmes kivéve a 0-t, ahol viszont korlátos egy környezetben:
A maradék kompakton folytonos, így korlátos, tehát az előző tétel értelmében a körintegrálja eltűnik.
4. Feladat.
Mo. Tudjuk,
emiatt zf(z) már reguláris, ezért a Laurent-sorában a főrészben egyedül a c-1-hez tartozó tag van.
- ,