Matematika A3a 2009/8. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Egész kitevőjű hatványsor) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Egész kitevőjű hatványsor) |
||
9. sor: | 9. sor: | ||
mert a primitív függvénnyel rendelkező tagok integráljai nullák. | mert a primitív függvénnyel rendelkező tagok integráljai nullák. | ||
− | '''2. Feladat.''' (Riemann-tétel) Igazoljuk, hogy ha f korlátos, <math>z_0</math>-ban szingularis és máshol reguláris, akkor a körintegrálja eltűnik. | + | :<math>\mathrm{Res}_{z_0}f=c_{-1}</math> |
+ | |||
+ | '''2. Feladat.''' Állítsuk elő a 2i számot | ||
+ | :a) függvény <math>\frac{1}{1-z}</math> a 0 körül sorával | ||
+ | :b) <math>\frac{1}{(z-i)(z+3)}</math> -t a 0 körül | ||
+ | |||
+ | ''Mo.'' | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | (Riemann-tétel) Igazoljuk, hogy ha f korlátos, <math>z_0</math>-ban szingularis és máshol reguláris, akkor a körintegrálja eltűnik. | ||
''Mo.'' Belátjuk, az ''f'' Laurent-sorának főrésze eltűnik. Az Laurent-sor együtthatóformuláiból, k < 0 egészre és K<sub>r</sub> egy 0 < r < 1 sugarú körre: | ''Mo.'' Belátjuk, az ''f'' Laurent-sorának főrésze eltűnik. Az Laurent-sor együtthatóformuláiból, k < 0 egészre és K<sub>r</sub> egy 0 < r < 1 sugarú körre: |
A lap 2009. november 11., 20:29-kori változata
Egész kitevőjű hatványsor
1. Feladat Igazoljuk, hogy ha ∑-∞∞cn(z − z0)n hatványsornak a z0-ban izolált szingularitása van, máshol reguláris, akkor
Mo. Ugyanis,
mert a primitív függvénnyel rendelkező tagok integráljai nullák.
2. Feladat. Állítsuk elő a 2i számot
- a) függvény a 0 körül sorával
- b) -t a 0 körül
Mo.
(Riemann-tétel) Igazoljuk, hogy ha f korlátos, z0-ban szingularis és máshol reguláris, akkor a körintegrálja eltűnik.
Mo. Belátjuk, az f Laurent-sorának főrésze eltűnik. Az Laurent-sor együtthatóformuláiból, k < 0 egészre és Kr egy 0 < r < 1 sugarú körre:
ahol K az f korlátja. Itt felhasználtuk, hogy xk − 1 < 1, ha 0 < x < 1. Ha pedig r-rel tartunk a 0-hoz, az együttható eltűnik.
f-tehát kiterjeszthető U-n reguláris függvénnyé, így a Cauchy-tétel miatt minden körintegrálja eltűnik. Vagy egyszerűbben: f reziduuma a megszüntethető szingularitási helyen 0.
3. Feladat
Mo. Megnézzük az értelmezési tartományt!
- , ,
- ,
Tehát a kör lapon értelmes kivéve a 0-t, ahol viszont korlátos egy környezetben:
A maradék kompakton folytonos, így korlátos, tehát az előző tétel értelmében a körintegrálja eltűnik.
4. Feladat.
Mo. Tudjuk,
emiatt zf(z) már reguláris, ezért a Laurent-sorában a főrészben egyedül a c-1-hez tartozó tag van.
- ,
Példa. Adjuk meg az
függvény azon 0 körüli Laurent-sorát, mely előállítja az 1-et! Azt is adjuk meg, mely a -3-t állítja elő!
Megoldás. -2i szinguláris hely. Ha a=0, akkor a z=1-et a 0 körüli Taylor-sor állítja elő, mert |0-1| < |0 - (-2i)|. Persze ezt is a m.s-ral adjuk meg: