Matematika A3a 2009/8. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Pólusszingularitás) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Izolált szingularitások osztályozása) |
||
29. sor: | 29. sor: | ||
===Megszüntethető szingularitás=== | ===Megszüntethető szingularitás=== | ||
Ha a Laurent sor főrésze eltünik, akkor a függvény regulárissá tehető. | Ha a Laurent sor főrésze eltünik, akkor a függvény regulárissá tehető. | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
'''4. Feladat''' Milyen szingularitása van a 0-ban, mennyi ott a reziduuma, mennyi a körintegrálja a 0 körüli egségkörön? | '''4. Feladat''' Milyen szingularitása van a 0-ban, mennyi ott a reziduuma, mennyi a körintegrálja a 0 körüli egségkörön? | ||
60. sor: | 50. sor: | ||
'''5. Feladat''' Milyen a szingularitása, mennyi a reziduuma, mennyi a körintegrálja az egysékörön a 0-ban? | '''5. Feladat''' Milyen a szingularitása, mennyi a reziduuma, mennyi a körintegrálja az egysékörön a 0-ban? | ||
− | :a)<math> \frac{ | + | :a)<math> \frac{\sin z^3}{z^{1820}}</math> |
:b)<math>\frac{1}{\sin 2z}</math> | :b)<math>\frac{1}{\sin 2z}</math> | ||
''Mo.'' | ''Mo.'' | ||
− | :a) <math> \frac{ | + | :a) <math> \frac{\sin z^3}{z^{1816}}=\frac{\sin z^3}{z^3}\frac{1}{z^{1813}}</math> |
+ | A sorból: | ||
+ | :<math> \frac{1}{z^{1816}}\sum\limits_{n=0}\frac{(-1)^{n}z^{6n+3}}{(2n+1)!}=\sum\limits_{n=0}\frac{(-1)^{n}z^{6n-1813}}{(2n+1)!}</math> | ||
b) Tudjuk, | b) Tudjuk, |
A lap 2009. november 11., 20:23-kori változata
Tartalomjegyzék |
Laurent-sor
1. Feladat Igazoljuk, hogy ha ∑-∞∞cn(z − z0)n hatványsornak a z0-ban izolált szingularitása van, máshol reguláris, akkor
Mo. Ugyanis,
mert a primitív függvénnyel rendelkező tagok integráljai nullák.
2. Feladat. Állítsuk elő a 3/2 i számot
- a) függvény a 0 körül sorával
- b) -t a 0 körül
Mo. a)
a konvergencia feltétele |1/z|<1, |z|>1 -n+1=k-val:
b)
Izolált szingularitások osztályozása
Ha az f a -n reguláris, de a z0-ban nem, akkor itt izolált szingularitása van. Ilyen az 1/z a 0-ban és nem ilyen a 1/sin(1/z) a 0- körül.
Az izolált szingularitások osztályozatók a Laurent-sora tagjai szerint.
Megszüntethető szingularitás
Ha a Laurent sor főrésze eltünik, akkor a függvény regulárissá tehető.
4. Feladat Milyen szingularitása van a 0-ban, mennyi ott a reziduuma, mennyi a körintegrálja a 0 körüli egségkörön?
Mo. Megnézzük az értelmezési tartományt!
- , ,
- ,
Tehát a kör lapon értelmes kivéve a 0-t, ahol viszont korlátos egy környezetben:
A maradék kompakton folytonos, így korlátos, tehát az előző tétel értelmébena körintegrálja eltűnik, a reziduuma 0, a szakadása megszüntethető.
Pólusszingularitás
Ha a Laurent-sorban az első nemnulla tag az 1/zn-hez tartozó, akkor ott a függvénynek n-edrendű pólusa van.
Persze ekkor f(z)zn már reguláris.
5. Feladat Milyen a szingularitása, mennyi a reziduuma, mennyi a körintegrálja az egysékörön a 0-ban?
- a)
- b)
Mo.
- a)
A sorból:
b) Tudjuk,
emiatt zf(z) már reguláris, ezért a Laurent-sorában a főrészben egyedül a c-1-hez tartozó tag van.
- ,
Lényeges szakadás
Ha a főrész végtelen hosszú.