Matematika A3a 2009/8. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Izolált szingularitások osztályozása)
(Házi feladatok)
 
(egy szerkesztő 11 közbeeső változata nincs mutatva)
12. sor: 12. sor:
  
 
'''2. Feladat.''' Állítsuk elő a 3/2 i számot  
 
'''2. Feladat.''' Állítsuk elő a 3/2 i számot  
:a) függvény <math>\frac{1}{1-z}</math> a 0 körül sorával
+
:<math>\frac{i}{(z+i)(z+2i)}</math> -t a 0 körül
:b) <math>\frac{i}{(z+i)(z+2i)}</math> -t a 0 körül
+
  
''Mo.'' a)
+
''Mo.''  
:<math>\frac{1}{1-z}=\frac{\frac{1}{z}}{\frac{1}{z}-1}=-\frac{1}{z}\frac{0}{1-\frac{1}{z}}=-\frac{1}{z}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{z^n}=</math>
+
a konvergencia feltétele |1/z|<1, |z|>1 -''n+1''=''k''-val:
+
:<math>\frac{1}{1-z}=\sum\limits_{k=-1}^{\infty}-z^{k}=</math>
+
b)
+
 
:<math>\frac{i}{(z+i)(z+2i)}=\frac{1}{z+i}-\frac{1}{z+2i}=</math>
 
:<math>\frac{i}{(z+i)(z+2i)}=\frac{1}{z+i}-\frac{1}{z+2i}=</math>
 
  
 
==Izolált szingularitások osztályozása==
 
==Izolált szingularitások osztályozása==
30. sor: 24. sor:
 
Ha a Laurent sor főrésze eltünik, akkor a függvény regulárissá tehető.
 
Ha a Laurent sor főrésze eltünik, akkor a függvény regulárissá tehető.
  
'''3. Feladat.''' (Riemann-tétel) Igazoljuk, hogy ha f korlátos, <math>z_0</math>-ban szingularis és máshol reguláris, akkor a körintegrálja eltűnik.
+
'''3. Feladat''' Milyen szingularitása van a 0-ban, mennyi ott a reziduuma, mennyi a körintegrálja a 0 körüli egségkörön?
 
+
''Mo.''  Belátjuk, az ''f'' Laurent-sorának főrésze eltűnik. Az Laurent-sor együtthatóformuláiból, k < 0 egészre és K<sub>r</sub> egy 0 < r < 1 sugarú körre:
+
 
+
:<math>|c_{-k}|=\left|\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{K_r}f(z)(z-z_0)^{k-1}\mathrm{d}z\right|\leq\frac{1}{2\pi}\oint\limits_{K_r}|f(z)||z-z_0|^{k-1}\mathrm{d}r=</math>
+
:<math>=\frac{1}{2\pi}K \cdot 2\pi r\to 0</math>
+
ahol K az f korlátja. Itt felhasználtuk, hogy <math>x^{k-1}</math> < 1, ha 0 < x < 1. Ha pedig r-rel tartunk a 0-hoz, az együttható eltűnik.
+
 
+
f-tehát kiterjeszthető U-n reguláris függvénnyé, így a Cauchy-tétel miatt minden körintegrálja eltűnik. Vagy egyszerűbben: f reziduuma a megszüntethető szingularitási helyen 0.
+
 
+
'''4. Feladat''' Milyen szingularitása van a 0-ban, mennyi ott a reziduuma, mennyi a körintegrálja a 0 körüli egségkörön?
+
 
:<math>\oint\limits_{|z|=1}\frac{z^2}{1-\cos z}\,\mathrm{d}z=?</math>
 
:<math>\oint\limits_{|z|=1}\frac{z^2}{1-\cos z}\,\mathrm{d}z=?</math>
 
''Mo.'' Megnézzük az értelmezési tartományt!
 
''Mo.'' Megnézzük az értelmezési tartományt!
55. sor: 39. sor:
 
===Pólusszingularitás===
 
===Pólusszingularitás===
  
Ha a Laurent-sorban az első nemnulla tag az 1/z<sup>n<\sup>-hez tartozó, akkor ott a függvénynek n-edrendű pólusa van.  
+
Ha a Laurent-sorban az első nemnulla tag az 1/z<sup>n</sup>-hez tartozó, akkor ott a függvénynek n-edrendű pólusa van.  
  
 
Persze ekkor f(z)z<sup>n</sup> már reguláris.
 
Persze ekkor f(z)z<sup>n</sup> már reguláris.
  
'''5. Feladat.''' Milyen a szingularitása, mennyi a reziduuma, mennyi a körintegrálja az aegysékörön a 0-ban.
+
'''4. Feladat''' Milyen a szingularitása, mennyi a reziduuma, mennyi a körintegrálja az egysékörön a 0-ban?
:<math>\oint\limits_{|z|=1}\frac{1}{\sin 2z}\,\mathrm{d}z=?</math>
+
:a)<math> \frac{\sin z^3}{z^{1820}}</math>
 +
:b)<math>\frac{1}{\sin 2z}</math>
  
''Mo.'' Tudjuk,
+
''Mo.''  
 +
:a) <math> \frac{\sin z^3}{z^{1816}}=\frac{\sin z^3}{z^3}\frac{1}{z^{1813}}</math>
 +
A sorból:
 +
:<math> \frac{1}{z^{1816}}\sum\limits_{n=0}\frac{(-1)^{n}z^{6n+3}}{(2n+1)!}=\sum\limits_{n=0}\frac{(-1)^{n}z^{6n-1813}}{(2n+1)!}</math>
 +
 
 +
b) Tudjuk,
 
:<math>\lim\limits_{z\to 0}\frac{\sin 2z}{z}=2</math>  
 
:<math>\lim\limits_{z\to 0}\frac{\sin 2z}{z}=2</math>  
 
emiatt zf(z) már reguláris, ezért a Laurent-sorában a főrészben egyedül a c<sub>-1</sub>-hez tartozó tag van.
 
emiatt zf(z) már reguláris, ezért a Laurent-sorában a főrészben egyedül a c<sub>-1</sub>-hez tartozó tag van.
71. sor: 61. sor:
 
:<math>\oint\limits_{|z|=1}\frac{1}{\sin 2z}\,\mathrm{d}z=\pi i</math>
 
:<math>\oint\limits_{|z|=1}\frac{1}{\sin 2z}\,\mathrm{d}z=\pi i</math>
  
===Lényeges szakadás===  
+
==Szeparábilis differenciálegyenlet==  
Ha a főrész végtelen hosszú.
+
'''5. Feladat''' Igazoljuk, hogy az alábbi differenciálegyenletnek minden <math>(x_0,y_0)</math>&isin;'''R'''&times;'''R'''-re van az <math>y(x_0)=y_0</math>-at kielégítő egyértelmű megoldása:
 +
:<math>y'=\frac{\sin x}{\mathrm{ch}\,y}</math>
 +
 
 +
'''6. Feladat.''' Ellenőrizzük, hogy fennáll-e a Pickard--Lindelöf- és a Cauchy--Peano-tétel feltételei ill. adjuk meg, hány megoldása van a y(0)=0 kezdeti érték mellett az
 +
:<math>y'=\frac{1}{\sqrt{|y|+1}}</math>
 +
egyenletnek.
 +
 
 +
'''7. Feladat.''' Ellenőrizzük, hogy fennáll-e a Pickard--Lindelöf- és a Cauchy--Peano-tétel feltételei ill. adjuk meg, hány megoldása van a y(0)=0 kezdeti érték mellett az
 +
:<math>y'=x^4\cos^2 y\,</math>
 +
egyenletnek.
 +
 
 +
==Házi feladatok==
 +
# Írja fel az <math>f(z)=\frac{z^2}{z+2i}\,</math> függvény azon  0 körüli Laurent-sorát, mely előállítja az 1-et! Azt is adjuk meg, mely a -3-t állítja elő!
 +
# Írja fel az <math>f(z)=\frac{1}{1+z^2}</math> függvény 1 körüli összes Laurent-sorát!
 +
# Számítsa ki az <math>f(z)=\frac{e^z-1}{\sin z}</math> függvény 0 középponttú egységsugarú körre vett integrálját és a szakadás jellegét határozza meg.
 +
# Milyen szakadása van az <math>f(z)=\frac{\cos z}{\sin^2z}</math> függvénynek a 0-ban és mennyi az integrálja a 0 középpontú egységkörre?
 +
# <math>z^3e^\frac{1}{z^2}</math> szakadásának jellege, reziduuma és integrálja?

A lap jelenlegi, 2009. november 16., 22:18-kori változata

Tartalomjegyzék

Laurent-sor

1. Feladat Igazoljuk, hogy ha ∑-∞cn(zz0)n hatványsornak a z0-ban izolált szingularitása van, máshol reguláris, akkor

\oint\limits_{G}\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(z-z_0)^n\,\mathrm{d}z=2\pi i c_{-1}

Mo. Ugyanis,

\oint\limits_{G}\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(z-z_0)^n\,\mathrm{d}z=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\oint\limits_{G}c_n(z-z_0)^n\,\mathrm{d}z=
=\oint\limits_{G}c_{-1}(z-z_0)^{-1}\,\mathrm{d}z=2\pi i c_{-1}

mert a primitív függvénnyel rendelkező tagok integráljai nullák.

\mathrm{Res}_{z_0}f=c_{-1}

2. Feladat. Állítsuk elő a 3/2 i számot

\frac{i}{(z+i)(z+2i)} -t a 0 körül

Mo.

\frac{i}{(z+i)(z+2i)}=\frac{1}{z+i}-\frac{1}{z+2i}=

Izolált szingularitások osztályozása

Ha az f a \scriptstyle{\dot{\mathrm{B}}_\delta(z_0)}-n reguláris, de a z0-ban nem, akkor itt izolált szingularitása van. Ilyen az 1/z a 0-ban és nem ilyen a 1/sin(1/z) a 0- körül.

Az izolált szingularitások osztályozatók a Laurent-sora tagjai szerint.

Megszüntethető szingularitás

Ha a Laurent sor főrésze eltünik, akkor a függvény regulárissá tehető.

3. Feladat Milyen szingularitása van a 0-ban, mennyi ott a reziduuma, mennyi a körintegrálja a 0 körüli egségkörön?

\oint\limits_{|z|=1}\frac{z^2}{1-\cos z}\,\mathrm{d}z=?

Mo. Megnézzük az értelmezési tartományt!

1-\cos z=0\,, \cos z=1\,,
\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=1
e^{2iz}-2e^{iz}+1=0\,
(e^{iz}-1)^2=0\,
e^{iz}=1\,
iz=k2\pi i\,, z=2\pi k\,

Tehát a kör lapon értelmes kivéve a 0-t, ahol viszont korlátos egy környezetben:

\lim\limits_{z\to 0}\frac{1-\cos z}{z^2}=\frac{1}{2}

A maradék kompakton folytonos, így korlátos, tehát az előző tétel értelmébena körintegrálja eltűnik, a reziduuma 0, a szakadása megszüntethető.

Pólusszingularitás

Ha a Laurent-sorban az első nemnulla tag az 1/zn-hez tartozó, akkor ott a függvénynek n-edrendű pólusa van.

Persze ekkor f(z)zn már reguláris.

4. Feladat Milyen a szingularitása, mennyi a reziduuma, mennyi a körintegrálja az egysékörön a 0-ban?

a) \frac{\sin z^3}{z^{1820}}
b)\frac{1}{\sin 2z}

Mo.

a)  \frac{\sin z^3}{z^{1816}}=\frac{\sin z^3}{z^3}\frac{1}{z^{1813}}

A sorból:

 \frac{1}{z^{1816}}\sum\limits_{n=0}\frac{(-1)^{n}z^{6n+3}}{(2n+1)!}=\sum\limits_{n=0}\frac{(-1)^{n}z^{6n-1813}}{(2n+1)!}

b) Tudjuk,

\lim\limits_{z\to 0}\frac{\sin 2z}{z}=2

emiatt zf(z) már reguláris, ezért a Laurent-sorában a főrészben egyedül a c-1-hez tartozó tag van.

\frac{1}{\sin 2z}=c_{-1}\frac{1}{z}+c_0+c_1z+...\,
\frac{1}{2z-\frac{1}{6}(2z)^3+...}=c_{-1}\frac{1}{z}+c_0+c_1z+...\,
1=(2z-\frac{1}{6}(2z)^3+...)(c_{-1}\frac{1}{z}+c_0+c_1z+...)\,
1=2c_{-1} \,, c_{-1}=\frac{1}{2}
\oint\limits_{|z|=1}\frac{1}{\sin 2z}\,\mathrm{d}z=\pi i

Szeparábilis differenciálegyenlet

5. Feladat Igazoljuk, hogy az alábbi differenciálegyenletnek minden (x0,y0)R×R-re van az y(x0) = y0-at kielégítő egyértelmű megoldása:

y'=\frac{\sin x}{\mathrm{ch}\,y}

6. Feladat. Ellenőrizzük, hogy fennáll-e a Pickard--Lindelöf- és a Cauchy--Peano-tétel feltételei ill. adjuk meg, hány megoldása van a y(0)=0 kezdeti érték mellett az

y'=\frac{1}{\sqrt{|y|+1}}

egyenletnek.

7. Feladat. Ellenőrizzük, hogy fennáll-e a Pickard--Lindelöf- és a Cauchy--Peano-tétel feltételei ill. adjuk meg, hány megoldása van a y(0)=0 kezdeti érték mellett az

y'=x^4\cos^2 y\,

egyenletnek.

Házi feladatok

  1. Írja fel az f(z)=\frac{z^2}{z+2i}\, függvény azon 0 körüli Laurent-sorát, mely előállítja az 1-et! Azt is adjuk meg, mely a -3-t állítja elő!
  2. Írja fel az f(z)=\frac{1}{1+z^2} függvény 1 körüli összes Laurent-sorát!
  3. Számítsa ki az f(z)=\frac{e^z-1}{\sin z} függvény 0 középponttú egységsugarú körre vett integrálját és a szakadás jellegét határozza meg.
  4. Milyen szakadása van az f(z)=\frac{\cos z}{\sin^2z} függvénynek a 0-ban és mennyi az integrálja a 0 középpontú egységkörre?
  5. z^3e^\frac{1}{z^2} szakadásának jellege, reziduuma és integrálja?
Személyes eszközök