Matematika A3a 2009/8. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Szeparábilis differenciálegyenlet)
(Házi feladatok)
 
(egy szerkesztő 2 közbeeső változata nincs mutatva)
62. sor: 62. sor:
  
 
==Szeparábilis differenciálegyenlet==  
 
==Szeparábilis differenciálegyenlet==  
'''5. Feladat'''
+
'''5. Feladat''' Igazoljuk, hogy az alábbi differenciálegyenletnek minden <math>(x_0,y_0)</math>&isin;'''R'''&times;'''R'''-re van az <math>y(x_0)=y_0</math>-at kielégítő egyértelmű megoldása:
 
:<math>y'=\frac{\sin x}{\mathrm{ch}\,y}</math>
 
:<math>y'=\frac{\sin x}{\mathrm{ch}\,y}</math>
  
'''6. Feladat.''' Ellenőrizzük, hogy fennáll-e a Pickard-Lindelöf, a Cauchy-Peano tételek feltételei ill. hány megoldása van a y(0)=0,
+
'''6. Feladat.''' Ellenőrizzük, hogy fennáll-e a Pickard--Lindelöf- és a Cauchy--Peano-tétel feltételei ill. adjuk meg, hány megoldása van a y(0)=0 kezdeti érték mellett az
 
:<math>y'=\frac{1}{\sqrt{|y|+1}}</math>  
 
:<math>y'=\frac{1}{\sqrt{|y|+1}}</math>  
 
egyenletnek.
 
egyenletnek.
  
'''7. Feladat.''' Ellenőrizzük, hogy fennáll-e a Pickard-Lindelöf, a Cauchy-Peano tételek feltételei ill. hány megoldása van az y(0)=0,
+
'''7. Feladat.''' Ellenőrizzük, hogy fennáll-e a Pickard--Lindelöf- és a Cauchy--Peano-tétel feltételei ill. adjuk meg, hány megoldása van a y(0)=0 kezdeti érték mellett az
:<math>y'=\sin x\cos^2 y\,</math>  
+
:<math>y'=x^4\cos^2 y\,</math>  
 
egyenletnek.
 
egyenletnek.
  
 
==Házi feladatok==
 
==Házi feladatok==
# Írja fel az <math>f(z)=\frac{z^2}{z+2i}\,</math>
+
# Írja fel az <math>f(z)=\frac{z^2}{z+2i}\,</math> függvény azon  0 körüli Laurent-sorát, mely előállítja az 1-et! Azt is adjuk meg, mely a -3-t állítja elő!
függvény azon  0 körüli Laurent-sorát, mely előállítja az 1-et! Azt is adjuk meg, mely a -3-t állítja elő!
+
 
# Írja fel az <math>f(z)=\frac{1}{1+z^2}</math> függvény 1 körüli összes Laurent-sorát!
 
# Írja fel az <math>f(z)=\frac{1}{1+z^2}</math> függvény 1 körüli összes Laurent-sorát!
 
# Számítsa ki az <math>f(z)=\frac{e^z-1}{\sin z}</math> függvény 0 középponttú egységsugarú körre vett integrálját és a szakadás jellegét határozza meg.
 
# Számítsa ki az <math>f(z)=\frac{e^z-1}{\sin z}</math> függvény 0 középponttú egységsugarú körre vett integrálját és a szakadás jellegét határozza meg.
# Milyen szakadása van az <math>f(z)=\frac{\cos z}{\sin^z}</math> függvénynek a 0-ban és mennyi az integrálja a 0 középpontú egységkörre?
+
# Milyen szakadása van az <math>f(z)=\frac{\cos z}{\sin^2z}</math> függvénynek a 0-ban és mennyi az integrálja a 0 középpontú egységkörre?
# <math>z^3e^\frac{1}{z^2}</math> szakadásának jellege, reziduuma és inggrálja?
+
# <math>z^3e^\frac{1}{z^2}</math> szakadásának jellege, reziduuma és integrálja?

A lap jelenlegi, 2009. november 16., 22:18-kori változata

Tartalomjegyzék

Laurent-sor

1. Feladat Igazoljuk, hogy ha ∑-∞cn(zz0)n hatványsornak a z0-ban izolált szingularitása van, máshol reguláris, akkor

\oint\limits_{G}\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(z-z_0)^n\,\mathrm{d}z=2\pi i c_{-1}

Mo. Ugyanis,

\oint\limits_{G}\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(z-z_0)^n\,\mathrm{d}z=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\oint\limits_{G}c_n(z-z_0)^n\,\mathrm{d}z=
=\oint\limits_{G}c_{-1}(z-z_0)^{-1}\,\mathrm{d}z=2\pi i c_{-1}

mert a primitív függvénnyel rendelkező tagok integráljai nullák.

\mathrm{Res}_{z_0}f=c_{-1}

2. Feladat. Állítsuk elő a 3/2 i számot

\frac{i}{(z+i)(z+2i)} -t a 0 körül

Mo.

\frac{i}{(z+i)(z+2i)}=\frac{1}{z+i}-\frac{1}{z+2i}=

Izolált szingularitások osztályozása

Ha az f a \scriptstyle{\dot{\mathrm{B}}_\delta(z_0)}-n reguláris, de a z0-ban nem, akkor itt izolált szingularitása van. Ilyen az 1/z a 0-ban és nem ilyen a 1/sin(1/z) a 0- körül.

Az izolált szingularitások osztályozatók a Laurent-sora tagjai szerint.

Megszüntethető szingularitás

Ha a Laurent sor főrésze eltünik, akkor a függvény regulárissá tehető.

3. Feladat Milyen szingularitása van a 0-ban, mennyi ott a reziduuma, mennyi a körintegrálja a 0 körüli egségkörön?

\oint\limits_{|z|=1}\frac{z^2}{1-\cos z}\,\mathrm{d}z=?

Mo. Megnézzük az értelmezési tartományt!

1-\cos z=0\,, \cos z=1\,,
\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=1
e^{2iz}-2e^{iz}+1=0\,
(e^{iz}-1)^2=0\,
e^{iz}=1\,
iz=k2\pi i\,, z=2\pi k\,

Tehát a kör lapon értelmes kivéve a 0-t, ahol viszont korlátos egy környezetben:

\lim\limits_{z\to 0}\frac{1-\cos z}{z^2}=\frac{1}{2}

A maradék kompakton folytonos, így korlátos, tehát az előző tétel értelmébena körintegrálja eltűnik, a reziduuma 0, a szakadása megszüntethető.

Pólusszingularitás

Ha a Laurent-sorban az első nemnulla tag az 1/zn-hez tartozó, akkor ott a függvénynek n-edrendű pólusa van.

Persze ekkor f(z)zn már reguláris.

4. Feladat Milyen a szingularitása, mennyi a reziduuma, mennyi a körintegrálja az egysékörön a 0-ban?

a) \frac{\sin z^3}{z^{1820}}
b)\frac{1}{\sin 2z}

Mo.

a)  \frac{\sin z^3}{z^{1816}}=\frac{\sin z^3}{z^3}\frac{1}{z^{1813}}

A sorból:

 \frac{1}{z^{1816}}\sum\limits_{n=0}\frac{(-1)^{n}z^{6n+3}}{(2n+1)!}=\sum\limits_{n=0}\frac{(-1)^{n}z^{6n-1813}}{(2n+1)!}

b) Tudjuk,

\lim\limits_{z\to 0}\frac{\sin 2z}{z}=2

emiatt zf(z) már reguláris, ezért a Laurent-sorában a főrészben egyedül a c-1-hez tartozó tag van.

\frac{1}{\sin 2z}=c_{-1}\frac{1}{z}+c_0+c_1z+...\,
\frac{1}{2z-\frac{1}{6}(2z)^3+...}=c_{-1}\frac{1}{z}+c_0+c_1z+...\,
1=(2z-\frac{1}{6}(2z)^3+...)(c_{-1}\frac{1}{z}+c_0+c_1z+...)\,
1=2c_{-1} \,, c_{-1}=\frac{1}{2}
\oint\limits_{|z|=1}\frac{1}{\sin 2z}\,\mathrm{d}z=\pi i

Szeparábilis differenciálegyenlet

5. Feladat Igazoljuk, hogy az alábbi differenciálegyenletnek minden (x0,y0)R×R-re van az y(x0) = y0-at kielégítő egyértelmű megoldása:

y'=\frac{\sin x}{\mathrm{ch}\,y}

6. Feladat. Ellenőrizzük, hogy fennáll-e a Pickard--Lindelöf- és a Cauchy--Peano-tétel feltételei ill. adjuk meg, hány megoldása van a y(0)=0 kezdeti érték mellett az

y'=\frac{1}{\sqrt{|y|+1}}

egyenletnek.

7. Feladat. Ellenőrizzük, hogy fennáll-e a Pickard--Lindelöf- és a Cauchy--Peano-tétel feltételei ill. adjuk meg, hány megoldása van a y(0)=0 kezdeti érték mellett az

y'=x^4\cos^2 y\,

egyenletnek.

Házi feladatok

  1. Írja fel az f(z)=\frac{z^2}{z+2i}\, függvény azon 0 körüli Laurent-sorát, mely előállítja az 1-et! Azt is adjuk meg, mely a -3-t állítja elő!
  2. Írja fel az f(z)=\frac{1}{1+z^2} függvény 1 körüli összes Laurent-sorát!
  3. Számítsa ki az f(z)=\frac{e^z-1}{\sin z} függvény 0 középponttú egységsugarú körre vett integrálját és a szakadás jellegét határozza meg.
  4. Milyen szakadása van az f(z)=\frac{\cos z}{\sin^2z} függvénynek a 0-ban és mennyi az integrálja a 0 középpontú egységkörre?
  5. z^3e^\frac{1}{z^2} szakadásának jellege, reziduuma és integrálja?
Személyes eszközök