Matematika A3a 2009/8. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Szeparábilis differenciálegyenlet) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Házi feladatok) |
||
(egy szerkesztő 2 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
62. sor: | 62. sor: | ||
==Szeparábilis differenciálegyenlet== | ==Szeparábilis differenciálegyenlet== | ||
− | '''5. Feladat''' | + | '''5. Feladat''' Igazoljuk, hogy az alábbi differenciálegyenletnek minden <math>(x_0,y_0)</math>∈'''R'''×'''R'''-re van az <math>y(x_0)=y_0</math>-at kielégítő egyértelmű megoldása: |
:<math>y'=\frac{\sin x}{\mathrm{ch}\,y}</math> | :<math>y'=\frac{\sin x}{\mathrm{ch}\,y}</math> | ||
− | '''6. Feladat.''' Ellenőrizzük, hogy fennáll-e a Pickard-Lindelöf | + | '''6. Feladat.''' Ellenőrizzük, hogy fennáll-e a Pickard--Lindelöf- és a Cauchy--Peano-tétel feltételei ill. adjuk meg, hány megoldása van a y(0)=0 kezdeti érték mellett az |
:<math>y'=\frac{1}{\sqrt{|y|+1}}</math> | :<math>y'=\frac{1}{\sqrt{|y|+1}}</math> | ||
egyenletnek. | egyenletnek. | ||
− | '''7. Feladat.''' Ellenőrizzük, hogy fennáll-e a Pickard-Lindelöf | + | '''7. Feladat.''' Ellenőrizzük, hogy fennáll-e a Pickard--Lindelöf- és a Cauchy--Peano-tétel feltételei ill. adjuk meg, hány megoldása van a y(0)=0 kezdeti érték mellett az |
− | :<math>y'= | + | :<math>y'=x^4\cos^2 y\,</math> |
egyenletnek. | egyenletnek. | ||
==Házi feladatok== | ==Házi feladatok== | ||
− | # Írja fel az <math>f(z)=\frac{z^2}{z+2i}\,</math> | + | # Írja fel az <math>f(z)=\frac{z^2}{z+2i}\,</math> függvény azon 0 körüli Laurent-sorát, mely előállítja az 1-et! Azt is adjuk meg, mely a -3-t állítja elő! |
− | függvény azon 0 körüli Laurent-sorát, mely előállítja az 1-et! Azt is adjuk meg, mely a -3-t állítja elő! | + | |
# Írja fel az <math>f(z)=\frac{1}{1+z^2}</math> függvény 1 körüli összes Laurent-sorát! | # Írja fel az <math>f(z)=\frac{1}{1+z^2}</math> függvény 1 körüli összes Laurent-sorát! | ||
# Számítsa ki az <math>f(z)=\frac{e^z-1}{\sin z}</math> függvény 0 középponttú egységsugarú körre vett integrálját és a szakadás jellegét határozza meg. | # Számítsa ki az <math>f(z)=\frac{e^z-1}{\sin z}</math> függvény 0 középponttú egységsugarú körre vett integrálját és a szakadás jellegét határozza meg. | ||
− | # Milyen szakadása van az <math>f(z)=\frac{\cos z}{\sin^ | + | # Milyen szakadása van az <math>f(z)=\frac{\cos z}{\sin^2z}</math> függvénynek a 0-ban és mennyi az integrálja a 0 középpontú egységkörre? |
− | # <math>z^3e^\frac{1}{z^2}</math> szakadásának jellege, reziduuma és | + | # <math>z^3e^\frac{1}{z^2}</math> szakadásának jellege, reziduuma és integrálja? |
A lap jelenlegi, 2009. november 16., 23:18-kori változata
Tartalomjegyzék |
Laurent-sor
1. Feladat Igazoljuk, hogy ha ∑-∞∞cn(z − z0)n hatványsornak a z0-ban izolált szingularitása van, máshol reguláris, akkor
Mo. Ugyanis,
mert a primitív függvénnyel rendelkező tagok integráljai nullák.
2. Feladat. Állítsuk elő a 3/2 i számot
- -t a 0 körül
Mo.
Izolált szingularitások osztályozása
Ha az f a -n reguláris, de a z0-ban nem, akkor itt izolált szingularitása van. Ilyen az 1/z a 0-ban és nem ilyen a 1/sin(1/z) a 0- körül.
Az izolált szingularitások osztályozatók a Laurent-sora tagjai szerint.
Megszüntethető szingularitás
Ha a Laurent sor főrésze eltünik, akkor a függvény regulárissá tehető.
3. Feladat Milyen szingularitása van a 0-ban, mennyi ott a reziduuma, mennyi a körintegrálja a 0 körüli egségkörön?
Mo. Megnézzük az értelmezési tartományt!
- , ,
- ,
Tehát a kör lapon értelmes kivéve a 0-t, ahol viszont korlátos egy környezetben:
A maradék kompakton folytonos, így korlátos, tehát az előző tétel értelmébena körintegrálja eltűnik, a reziduuma 0, a szakadása megszüntethető.
Pólusszingularitás
Ha a Laurent-sorban az első nemnulla tag az 1/zn-hez tartozó, akkor ott a függvénynek n-edrendű pólusa van.
Persze ekkor f(z)zn már reguláris.
4. Feladat Milyen a szingularitása, mennyi a reziduuma, mennyi a körintegrálja az egysékörön a 0-ban?
- a)
- b)
Mo.
- a)
A sorból:
b) Tudjuk,
emiatt zf(z) már reguláris, ezért a Laurent-sorában a főrészben egyedül a c-1-hez tartozó tag van.
- ,
Szeparábilis differenciálegyenlet
5. Feladat Igazoljuk, hogy az alábbi differenciálegyenletnek minden (x0,y0)∈R×R-re van az y(x0) = y0-at kielégítő egyértelmű megoldása:
6. Feladat. Ellenőrizzük, hogy fennáll-e a Pickard--Lindelöf- és a Cauchy--Peano-tétel feltételei ill. adjuk meg, hány megoldása van a y(0)=0 kezdeti érték mellett az
egyenletnek.
7. Feladat. Ellenőrizzük, hogy fennáll-e a Pickard--Lindelöf- és a Cauchy--Peano-tétel feltételei ill. adjuk meg, hány megoldása van a y(0)=0 kezdeti érték mellett az
egyenletnek.
Házi feladatok
- Írja fel az függvény azon 0 körüli Laurent-sorát, mely előállítja az 1-et! Azt is adjuk meg, mely a -3-t állítja elő!
- Írja fel az függvény 1 körüli összes Laurent-sorát!
- Számítsa ki az függvény 0 középponttú egységsugarú körre vett integrálját és a szakadás jellegét határozza meg.
- Milyen szakadása van az függvénynek a 0-ban és mennyi az integrálja a 0 középpontú egységkörre?
- szakadásának jellege, reziduuma és integrálja?