Matematika A3a 2009/8. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Megszüntethető szingularitás) |
||
46. sor: | 46. sor: | ||
Tehát a kör lapon értelmes kivéve a 0-t, ahol viszont korlátos egy környezetben: | Tehát a kör lapon értelmes kivéve a 0-t, ahol viszont korlátos egy környezetben: | ||
:<math>\lim\limits_{z\to 0}\frac{1-\cos z}{z^2}=\frac{1}{2}</math> | :<math>\lim\limits_{z\to 0}\frac{1-\cos z}{z^2}=\frac{1}{2}</math> | ||
− | A maradék kompakton folytonos, így korlátos, tehát az előző tétel | + | A maradék kompakton folytonos, így korlátos, tehát az előző tétel értelmébena körintegrálja eltűnik, a reziduuma 0, a szakadása megszüntethető. |
− | ''' | + | ===Pólusszinguéaritás=== |
+ | '''5. Feladat.''' | ||
:<math>\oint\limits_{|z|=1}\frac{1}{\sin 2z}\,\mathrm{d}z=?</math> | :<math>\oint\limits_{|z|=1}\frac{1}{\sin 2z}\,\mathrm{d}z=?</math> | ||
A lap 2009. november 11., 20:50-kori változata
Tartalomjegyzék |
Laurent-sor
1. Feladat Igazoljuk, hogy ha ∑-∞∞cn(z − z0)n hatványsornak a z0-ban izolált szingularitása van, máshol reguláris, akkor
Mo. Ugyanis,
mert a primitív függvénnyel rendelkező tagok integráljai nullák.
2. Feladat. Állítsuk elő a 3/2 i számot
- a) függvény a 0 körül sorával
- b) -t a 0 körül
Mo. a)
a konvergencia feltétele |1/z|<1, |z|>1 -n+1=k-val:
b)
Izolált szingularitások osztályozása
Megszüntethető szingularitás
3. Feladat. (Riemann-tétel) Igazoljuk, hogy ha f korlátos, z0-ban szingularis és máshol reguláris, akkor a körintegrálja eltűnik.
Mo. Belátjuk, az f Laurent-sorának főrésze eltűnik. Az Laurent-sor együtthatóformuláiból, k < 0 egészre és Kr egy 0 < r < 1 sugarú körre:
ahol K az f korlátja. Itt felhasználtuk, hogy xk − 1 < 1, ha 0 < x < 1. Ha pedig r-rel tartunk a 0-hoz, az együttható eltűnik.
f-tehát kiterjeszthető U-n reguláris függvénnyé, így a Cauchy-tétel miatt minden körintegrálja eltűnik. Vagy egyszerűbben: f reziduuma a megszüntethető szingularitási helyen 0.
4. Feladat Milyen szingularitása van a 0-ban, mennyi ott a reziduuma, mennyi a körintegrálja a 0 körüli egségkörön?
Mo. Megnézzük az értelmezési tartományt!
- , ,
- ,
Tehát a kör lapon értelmes kivéve a 0-t, ahol viszont korlátos egy környezetben:
A maradék kompakton folytonos, így korlátos, tehát az előző tétel értelmébena körintegrálja eltűnik, a reziduuma 0, a szakadása megszüntethető.
Pólusszinguéaritás
5. Feladat.
Mo. Tudjuk,
emiatt zf(z) már reguláris, ezért a Laurent-sorában a főrészben egyedül a c-1-hez tartozó tag van.
- ,
Példa. Adjuk meg az
függvény azon 0 körüli Laurent-sorát, mely előállítja az 1-et! Azt is adjuk meg, mely a -3-t állítja elő!
Megoldás. -2i szinguláris hely. Ha a=0, akkor a z=1-et a 0 körüli Taylor-sor állítja elő, mert |0-1| < |0 - (-2i)|. Persze ezt is a m.s-ral adjuk meg: