Matematika A3a 2009/8. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Izolált szingularitások osztályozása) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Laurent-sor) |
||
12. sor: | 12. sor: | ||
'''2. Feladat.''' Állítsuk elő a 3/2 i számot | '''2. Feladat.''' Állítsuk elő a 3/2 i számot | ||
− | : | + | :<math>\frac{i}{(z+i)(z+2i)}</math> -t a 0 körül |
− | + | ||
− | ''Mo.'' | + | ''Mo.'' |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
:<math>\frac{i}{(z+i)(z+2i)}=\frac{1}{z+i}-\frac{1}{z+2i}=</math> | :<math>\frac{i}{(z+i)(z+2i)}=\frac{1}{z+i}-\frac{1}{z+2i}=</math> | ||
− | |||
==Izolált szingularitások osztályozása== | ==Izolált szingularitások osztályozása== |
A lap 2009. november 11., 21:24-kori változata
Tartalomjegyzék |
Laurent-sor
1. Feladat Igazoljuk, hogy ha ∑-∞∞cn(z − z0)n hatványsornak a z0-ban izolált szingularitása van, máshol reguláris, akkor
Mo. Ugyanis,
mert a primitív függvénnyel rendelkező tagok integráljai nullák.
2. Feladat. Állítsuk elő a 3/2 i számot
- -t a 0 körül
Mo.
Izolált szingularitások osztályozása
Ha az f a -n reguláris, de a z0-ban nem, akkor itt izolált szingularitása van. Ilyen az 1/z a 0-ban és nem ilyen a 1/sin(1/z) a 0- körül.
Az izolált szingularitások osztályozatók a Laurent-sora tagjai szerint.
Megszüntethető szingularitás
Ha a Laurent sor főrésze eltünik, akkor a függvény regulárissá tehető.
4. Feladat Milyen szingularitása van a 0-ban, mennyi ott a reziduuma, mennyi a körintegrálja a 0 körüli egségkörön?
Mo. Megnézzük az értelmezési tartományt!
- , ,
- ,
Tehát a kör lapon értelmes kivéve a 0-t, ahol viszont korlátos egy környezetben:
A maradék kompakton folytonos, így korlátos, tehát az előző tétel értelmébena körintegrálja eltűnik, a reziduuma 0, a szakadása megszüntethető.
Pólusszingularitás
Ha a Laurent-sorban az első nemnulla tag az 1/zn-hez tartozó, akkor ott a függvénynek n-edrendű pólusa van.
Persze ekkor f(z)zn már reguláris.
5. Feladat Milyen a szingularitása, mennyi a reziduuma, mennyi a körintegrálja az egysékörön a 0-ban?
- a)
- b)
Mo.
- a)
A sorból:
b) Tudjuk,
emiatt zf(z) már reguláris, ezért a Laurent-sorában a főrészben egyedül a c-1-hez tartozó tag van.
- ,
Lényeges szakadás
Ha a főrész végtelen hosszú.