Matematika A3a 2009/8. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Laurent-sor) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Izolált szingularitások osztályozása) |
||
24. sor: | 24. sor: | ||
Ha a Laurent sor főrésze eltünik, akkor a függvény regulárissá tehető. | Ha a Laurent sor főrésze eltünik, akkor a függvény regulárissá tehető. | ||
− | ''' | + | '''3. Feladat''' Milyen szingularitása van a 0-ban, mennyi ott a reziduuma, mennyi a körintegrálja a 0 körüli egségkörön? |
:<math>\oint\limits_{|z|=1}\frac{z^2}{1-\cos z}\,\mathrm{d}z=?</math> | :<math>\oint\limits_{|z|=1}\frac{z^2}{1-\cos z}\,\mathrm{d}z=?</math> | ||
''Mo.'' Megnézzük az értelmezési tartományt! | ''Mo.'' Megnézzük az értelmezési tartományt! | ||
43. sor: | 43. sor: | ||
Persze ekkor f(z)z<sup>n</sup> már reguláris. | Persze ekkor f(z)z<sup>n</sup> már reguláris. | ||
− | '' | + | ''4. Feladat''' Milyen a szingularitása, mennyi a reziduuma, mennyi a körintegrálja az egysékörön a 0-ban? |
:a)<math> \frac{\sin z^3}{z^{1820}}</math> | :a)<math> \frac{\sin z^3}{z^{1820}}</math> | ||
:b)<math>\frac{1}{\sin 2z}</math> | :b)<math>\frac{1}{\sin 2z}</math> |
A lap 2009. november 11., 21:25-kori változata
Tartalomjegyzék |
Laurent-sor
1. Feladat Igazoljuk, hogy ha ∑-∞∞cn(z − z0)n hatványsornak a z0-ban izolált szingularitása van, máshol reguláris, akkor
Mo. Ugyanis,
mert a primitív függvénnyel rendelkező tagok integráljai nullák.
2. Feladat. Állítsuk elő a 3/2 i számot
- -t a 0 körül
Mo.
Izolált szingularitások osztályozása
Ha az f a -n reguláris, de a z0-ban nem, akkor itt izolált szingularitása van. Ilyen az 1/z a 0-ban és nem ilyen a 1/sin(1/z) a 0- körül.
Az izolált szingularitások osztályozatók a Laurent-sora tagjai szerint.
Megszüntethető szingularitás
Ha a Laurent sor főrésze eltünik, akkor a függvény regulárissá tehető.
3. Feladat Milyen szingularitása van a 0-ban, mennyi ott a reziduuma, mennyi a körintegrálja a 0 körüli egségkörön?
Mo. Megnézzük az értelmezési tartományt!
- , ,
- ,
Tehát a kör lapon értelmes kivéve a 0-t, ahol viszont korlátos egy környezetben:
A maradék kompakton folytonos, így korlátos, tehát az előző tétel értelmébena körintegrálja eltűnik, a reziduuma 0, a szakadása megszüntethető.
Pólusszingularitás
Ha a Laurent-sorban az első nemnulla tag az 1/zn-hez tartozó, akkor ott a függvénynek n-edrendű pólusa van.
Persze ekkor f(z)zn már reguláris.
4. Feladat' Milyen a szingularitása, mennyi a reziduuma, mennyi a körintegrálja az egysékörön a 0-ban?
- a)
- b)
Mo.
- a)
A sorból:
b) Tudjuk,
emiatt zf(z) már reguláris, ezért a Laurent-sorában a főrészben egyedül a c-1-hez tartozó tag van.
- ,
Lényeges szakadás
Ha a főrész végtelen hosszú.