Matematika A3a 2009/8. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Lényeges szakadás) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Szeparábilis differenciálegyenlet) |
||
61. sor: | 61. sor: | ||
:<math>\oint\limits_{|z|=1}\frac{1}{\sin 2z}\,\mathrm{d}z=\pi i</math> | :<math>\oint\limits_{|z|=1}\frac{1}{\sin 2z}\,\mathrm{d}z=\pi i</math> | ||
− | + | ==Szeparábilis differenciálegyenlet== | |
'''5. Feladat''' | '''5. Feladat''' | ||
:<math>y'=\frac{\sin x}{\mathrm{ch}\,y}</math> | :<math>y'=\frac{\sin x}{\mathrm{ch}\,y}</math> | ||
+ | |||
+ | '''6. Feladat.''' Ellenőrizzük, hogy fennáll-e a Pickard-Lindelöf, a Cauchy-Peano tételek feltételei ill. hány megoldása van a y(0)=0, | ||
+ | :<math>y'=\frac{1}{\sqrt{|y|+1}}</math> | ||
+ | egyenletnek. | ||
+ | |||
+ | '''7. Feladat.''' Ellenőrizzük, hogy fennáll-e a Pickard-Lindelöf, a Cauchy-Peano tételek feltételei ill. hány megoldása van az y(0)=0, | ||
+ | :<math>y'=\sin x\sin^2 y</math> | ||
+ | egyenletnek. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ==Házi feladatok== | ||
+ | # Írja fel az <math>f(z)=\frac{z^2}{z+2i}\,</math> | ||
+ | függvény azon 0 körüli Laurent-sorát, mely előállítja az 1-et! Azt is adjuk meg, mely a -3-t állítja elő! | ||
+ | # Írja fel az <math>f(z)=\frac{1}{1+z^2}</math> függvény 1 körüli összes Laurent-sorát! | ||
+ | # Számítsa ki az <math>f(z)=\frac{e^z-1}{\sin z}</math> függvény 0 középponttú egységsugarú körre vett integrálját és a szakadás jellegét határozza meg. | ||
+ | # Milyen szakadása van az <math>f(z)=\frac{\cos z}{\sin^z}</math> függvénynek a 0-ban és mennyi az integrálja a 0 középpontú egységkörre? | ||
+ | # <math>z^3e^\frac{1}{z^2}</math> szakadásának jellege, reziduuma és inggrálja? |
A lap 2009. november 11., 21:39-kori változata
Tartalomjegyzék |
Laurent-sor
1. Feladat Igazoljuk, hogy ha ∑-∞∞cn(z − z0)n hatványsornak a z0-ban izolált szingularitása van, máshol reguláris, akkor
Mo. Ugyanis,
mert a primitív függvénnyel rendelkező tagok integráljai nullák.
2. Feladat. Állítsuk elő a 3/2 i számot
- -t a 0 körül
Mo.
Izolált szingularitások osztályozása
Ha az f a -n reguláris, de a z0-ban nem, akkor itt izolált szingularitása van. Ilyen az 1/z a 0-ban és nem ilyen a 1/sin(1/z) a 0- körül.
Az izolált szingularitások osztályozatók a Laurent-sora tagjai szerint.
Megszüntethető szingularitás
Ha a Laurent sor főrésze eltünik, akkor a függvény regulárissá tehető.
3. Feladat Milyen szingularitása van a 0-ban, mennyi ott a reziduuma, mennyi a körintegrálja a 0 körüli egségkörön?
Mo. Megnézzük az értelmezési tartományt!
- , ,
- ,
Tehát a kör lapon értelmes kivéve a 0-t, ahol viszont korlátos egy környezetben:
A maradék kompakton folytonos, így korlátos, tehát az előző tétel értelmébena körintegrálja eltűnik, a reziduuma 0, a szakadása megszüntethető.
Pólusszingularitás
Ha a Laurent-sorban az első nemnulla tag az 1/zn-hez tartozó, akkor ott a függvénynek n-edrendű pólusa van.
Persze ekkor f(z)zn már reguláris.
4. Feladat Milyen a szingularitása, mennyi a reziduuma, mennyi a körintegrálja az egysékörön a 0-ban?
- a)
- b)
Mo.
- a)
A sorból:
b) Tudjuk,
emiatt zf(z) már reguláris, ezért a Laurent-sorában a főrészben egyedül a c-1-hez tartozó tag van.
- ,
Szeparábilis differenciálegyenlet
5. Feladat
6. Feladat. Ellenőrizzük, hogy fennáll-e a Pickard-Lindelöf, a Cauchy-Peano tételek feltételei ill. hány megoldása van a y(0)=0,
egyenletnek.
7. Feladat. Ellenőrizzük, hogy fennáll-e a Pickard-Lindelöf, a Cauchy-Peano tételek feltételei ill. hány megoldása van az y(0)=0,
- y' = sinxsin2y
egyenletnek.
Házi feladatok
- Írja fel az
függvény azon 0 körüli Laurent-sorát, mely előállítja az 1-et! Azt is adjuk meg, mely a -3-t állítja elő!
- Írja fel az függvény 1 körüli összes Laurent-sorát!
- Számítsa ki az függvény 0 középponttú egységsugarú körre vett integrálját és a szakadás jellegét határozza meg.
- Milyen szakadása van az függvénynek a 0-ban és mennyi az integrálja a 0 középpontú egységkörre?
- szakadásának jellege, reziduuma és inggrálja?