Matematika A3a 2009/8. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Egész kitevőjű hatványsor) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
1. sor: | 1. sor: | ||
− | == | + | ==Laurent-sor== |
'''1. Feladat''' Igazoljuk, hogy ha ∑<sub>-∞</sub><sup>∞</sup><math>c_n(z-z_0)^n</math> hatványsornak a <math>z_0</math>-ban izolált szingularitása van, máshol reguláris, akkor | '''1. Feladat''' Igazoljuk, hogy ha ∑<sub>-∞</sub><sup>∞</sup><math>c_n(z-z_0)^n</math> hatványsornak a <math>z_0</math>-ban izolált szingularitása van, máshol reguláris, akkor | ||
11. sor: | 11. sor: | ||
:<math>\mathrm{Res}_{z_0}f=c_{-1}</math> | :<math>\mathrm{Res}_{z_0}f=c_{-1}</math> | ||
− | '''2. Feladat.''' Állítsuk elő a | + | '''2. Feladat.''' Állítsuk elő a 3/2 i számot |
:a) függvény <math>\frac{1}{1-z}</math> a 0 körül sorával | :a) függvény <math>\frac{1}{1-z}</math> a 0 körül sorával | ||
− | :b) <math>\frac{ | + | :b) <math>\frac{i}{(z+i)(z+2i)}</math> -t a 0 körül |
− | ''Mo.'' | + | ''Mo.'' a) |
+ | :<math>\frac{1}{1-z}=\frac{\frac{1}{z}}{\frac{1}{z}-1}=-\frac{1}{z}\frac{0}{1-\frac{1}{z}}=-\frac{1}{z}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{z^n}=</math> | ||
+ | a konvergencia feltétele |1/z|<1, |z|>1 -''n+1''=''k''-val: | ||
+ | :<math>\frac{1}{1-z}=\sum\limits_{k=-1}^{\infty}-z^{k}=</math> | ||
+ | b) | ||
+ | :<math>\frac{i}{(z+i)(z+2i)}=\frac{1}{z+i}-\frac{1}{z+2i}=</math> | ||
− | + | ==Izolált szingularitások osztályozása== | |
− | (Riemann-tétel) Igazoljuk, hogy ha f korlátos, <math>z_0</math>-ban szingularis és máshol reguláris, akkor a körintegrálja eltűnik. | + | ===Megszüntethető szingularitás=== |
+ | '''3. Feladat.''' (Riemann-tétel) Igazoljuk, hogy ha f korlátos, <math>z_0</math>-ban szingularis és máshol reguláris, akkor a körintegrálja eltűnik. | ||
''Mo.'' Belátjuk, az ''f'' Laurent-sorának főrésze eltűnik. Az Laurent-sor együtthatóformuláiból, k < 0 egészre és K<sub>r</sub> egy 0 < r < 1 sugarú körre: | ''Mo.'' Belátjuk, az ''f'' Laurent-sorának főrésze eltűnik. Az Laurent-sor együtthatóformuláiból, k < 0 egészre és K<sub>r</sub> egy 0 < r < 1 sugarú körre: | ||
29. sor: | 35. sor: | ||
f-tehát kiterjeszthető U-n reguláris függvénnyé, így a Cauchy-tétel miatt minden körintegrálja eltűnik. Vagy egyszerűbben: f reziduuma a megszüntethető szingularitási helyen 0. | f-tehát kiterjeszthető U-n reguláris függvénnyé, így a Cauchy-tétel miatt minden körintegrálja eltűnik. Vagy egyszerűbben: f reziduuma a megszüntethető szingularitási helyen 0. | ||
− | ''' | + | '''4. Feladat''' Milyen szingularitása van a 0-ban, mennyi ott a reziduuma, mennyi a körintegrálja a 0 körüli egségkörön? |
:<math>\oint\limits_{|z|=1}\frac{z^2}{1-\cos z}\,\mathrm{d}z=?</math> | :<math>\oint\limits_{|z|=1}\frac{z^2}{1-\cos z}\,\mathrm{d}z=?</math> | ||
''Mo.'' Megnézzük az értelmezési tartományt! | ''Mo.'' Megnézzük az értelmezési tartományt! |
A lap 2009. november 11., 20:44-kori változata
Laurent-sor
1. Feladat Igazoljuk, hogy ha ∑-∞∞cn(z − z0)n hatványsornak a z0-ban izolált szingularitása van, máshol reguláris, akkor
Mo. Ugyanis,
mert a primitív függvénnyel rendelkező tagok integráljai nullák.
2. Feladat. Állítsuk elő a 3/2 i számot
- a) függvény a 0 körül sorával
- b) -t a 0 körül
Mo. a)
a konvergencia feltétele |1/z|<1, |z|>1 -n+1=k-val:
b)
Izolált szingularitások osztályozása
Megszüntethető szingularitás
3. Feladat. (Riemann-tétel) Igazoljuk, hogy ha f korlátos, z0-ban szingularis és máshol reguláris, akkor a körintegrálja eltűnik.
Mo. Belátjuk, az f Laurent-sorának főrésze eltűnik. Az Laurent-sor együtthatóformuláiból, k < 0 egészre és Kr egy 0 < r < 1 sugarú körre:
ahol K az f korlátja. Itt felhasználtuk, hogy xk − 1 < 1, ha 0 < x < 1. Ha pedig r-rel tartunk a 0-hoz, az együttható eltűnik.
f-tehát kiterjeszthető U-n reguláris függvénnyé, így a Cauchy-tétel miatt minden körintegrálja eltűnik. Vagy egyszerűbben: f reziduuma a megszüntethető szingularitási helyen 0.
4. Feladat Milyen szingularitása van a 0-ban, mennyi ott a reziduuma, mennyi a körintegrálja a 0 körüli egségkörön?
Mo. Megnézzük az értelmezési tartományt!
- , ,
- ,
Tehát a kör lapon értelmes kivéve a 0-t, ahol viszont korlátos egy környezetben:
A maradék kompakton folytonos, így korlátos, tehát az előző tétel értelmében a körintegrálja eltűnik.
4. Feladat.
Mo. Tudjuk,
emiatt zf(z) már reguláris, ezért a Laurent-sorában a főrészben egyedül a c-1-hez tartozó tag van.
- ,
Példa. Adjuk meg az
függvény azon 0 körüli Laurent-sorát, mely előállítja az 1-et! Azt is adjuk meg, mely a -3-t állítja elő!
Megoldás. -2i szinguláris hely. Ha a=0, akkor a z=1-et a 0 körüli Taylor-sor állítja elő, mert |0-1| < |0 - (-2i)|. Persze ezt is a m.s-ral adjuk meg: