Matematika A3a 2009/8. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Megszüntethető szingularitás) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Izolált szingularitások osztályozása) |
||
24. sor: | 24. sor: | ||
==Izolált szingularitások osztályozása== | ==Izolált szingularitások osztályozása== | ||
+ | Ha az f a <math>\scriptstyle{\dot{\mathrm{B}}_\delta(z_0)}</math>-n reguláris, de a <math>z_0</math>-ban nem, akkor itt izolált szingularitása van. Ilyen az 1/z a 0-ban és nem ilyen a 1/sin(1/z) a 0- körül. | ||
+ | |||
+ | Az izolált szingularitások osztályozatók a Laurent-sora tagjai szerint. | ||
===Megszüntethető szingularitás=== | ===Megszüntethető szingularitás=== | ||
+ | Ha a Laurent sor főrésze eltünik, akkor a függvény regulárissá tehető. | ||
+ | |||
'''3. Feladat.''' (Riemann-tétel) Igazoljuk, hogy ha f korlátos, <math>z_0</math>-ban szingularis és máshol reguláris, akkor a körintegrálja eltűnik. | '''3. Feladat.''' (Riemann-tétel) Igazoljuk, hogy ha f korlátos, <math>z_0</math>-ban szingularis és máshol reguláris, akkor a körintegrálja eltűnik. | ||
48. sor: | 53. sor: | ||
A maradék kompakton folytonos, így korlátos, tehát az előző tétel értelmébena körintegrálja eltűnik, a reziduuma 0, a szakadása megszüntethető. | A maradék kompakton folytonos, így korlátos, tehát az előző tétel értelmébena körintegrálja eltűnik, a reziduuma 0, a szakadása megszüntethető. | ||
− | === | + | ===Pólusszingularitás=== |
− | '''5. Feladat.''' | + | |
+ | Ha a Laurent-sorban az első nemnulla tag az 1/z<sup>n<\sup>-hez tartozó, akkor ott a függvénynek n-edrendű pólusa van. | ||
+ | |||
+ | Persze ekkor f(z)z<sup>n</sup> már reguláris. | ||
+ | |||
+ | '''5. Feladat.''' Milyen a szingularitása, mennyi a reziduuma, mennyi a körintegrálja az aegysékörön a 0-ban. | ||
:<math>\oint\limits_{|z|=1}\frac{1}{\sin 2z}\,\mathrm{d}z=?</math> | :<math>\oint\limits_{|z|=1}\frac{1}{\sin 2z}\,\mathrm{d}z=?</math> | ||
61. sor: | 71. sor: | ||
:<math>\oint\limits_{|z|=1}\frac{1}{\sin 2z}\,\mathrm{d}z=\pi i</math> | :<math>\oint\limits_{|z|=1}\frac{1}{\sin 2z}\,\mathrm{d}z=\pi i</math> | ||
− | + | ===Lényeges szakadás=== | |
− | + | Ha a főrész végtelen hosszú. | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + |
A lap 2009. november 11., 20:57-kori változata
Tartalomjegyzék |
Laurent-sor
1. Feladat Igazoljuk, hogy ha ∑-∞∞cn(z − z0)n hatványsornak a z0-ban izolált szingularitása van, máshol reguláris, akkor
Mo. Ugyanis,
mert a primitív függvénnyel rendelkező tagok integráljai nullák.
2. Feladat. Állítsuk elő a 3/2 i számot
- a) függvény a 0 körül sorával
- b) -t a 0 körül
Mo. a)
a konvergencia feltétele |1/z|<1, |z|>1 -n+1=k-val:
b)
Izolált szingularitások osztályozása
Ha az f a -n reguláris, de a z0-ban nem, akkor itt izolált szingularitása van. Ilyen az 1/z a 0-ban és nem ilyen a 1/sin(1/z) a 0- körül.
Az izolált szingularitások osztályozatók a Laurent-sora tagjai szerint.
Megszüntethető szingularitás
Ha a Laurent sor főrésze eltünik, akkor a függvény regulárissá tehető.
3. Feladat. (Riemann-tétel) Igazoljuk, hogy ha f korlátos, z0-ban szingularis és máshol reguláris, akkor a körintegrálja eltűnik.
Mo. Belátjuk, az f Laurent-sorának főrésze eltűnik. Az Laurent-sor együtthatóformuláiból, k < 0 egészre és Kr egy 0 < r < 1 sugarú körre:
ahol K az f korlátja. Itt felhasználtuk, hogy xk − 1 < 1, ha 0 < x < 1. Ha pedig r-rel tartunk a 0-hoz, az együttható eltűnik.
f-tehát kiterjeszthető U-n reguláris függvénnyé, így a Cauchy-tétel miatt minden körintegrálja eltűnik. Vagy egyszerűbben: f reziduuma a megszüntethető szingularitási helyen 0.
4. Feladat Milyen szingularitása van a 0-ban, mennyi ott a reziduuma, mennyi a körintegrálja a 0 körüli egségkörön?
Mo. Megnézzük az értelmezési tartományt!
- , ,
- ,
Tehát a kör lapon értelmes kivéve a 0-t, ahol viszont korlátos egy környezetben:
A maradék kompakton folytonos, így korlátos, tehát az előző tétel értelmébena körintegrálja eltűnik, a reziduuma 0, a szakadása megszüntethető.
Pólusszingularitás
Ha a Laurent-sorban az első nemnulla tag az 1/zn<\sup>-hez tartozó, akkor ott a függvénynek n-edrendű pólusa van.
Persze ekkor f(z)zn már reguláris.
5. Feladat. Milyen a szingularitása, mennyi a reziduuma, mennyi a körintegrálja az aegysékörön a 0-ban.
Mo. Tudjuk,
emiatt zf(z) már reguláris, ezért a Laurent-sorában a főrészben egyedül a c-1-hez tartozó tag van.
- ,
Lényeges szakadás
Ha a főrész végtelen hosszú.