Matematika A3a 2009/9. gyakorlat

A MathWikiből

(Változatok közti eltérés)

A lap 2009. november 16., 10:09-kori változata

1. Oldjuk meg az

$y'=x^2\frac{\cos^4 y}{\sin y}$

egyenletet az

a) $y(0)=-\frac{\pi}{2}$

b) $y(0)=\frac{\pi}{4}$

c) $y(0)=\frac{\pi}{3}+2\pi$

Mo. a) Ez egykonstans megoldás és nincs másik a (0,π/2)-n áthaladó, mert az y szerinti parciális derivált korlátos.

b) Az általános megoldásból keressük a kezdeti feltételt kielégítő megoldást:

$\frac{\sin y}{\cos^4 y}y'=x^2$

$-\cos^{-4} y(-\sin y)\,y'=x^2$

$\frac{1}{3}\cos^{-3} y=\frac{1}{3}x^3+C$

Az implicit egyenlet:

cos - 3 y = x 3 + 3 C

Ha x=0 és y=π/4, akkor

$3C=\frac{1}{\frac{(\sqrt{2}}{2})^3}$

és

$y(x)=\frac{1}{\mathrm{arccos}\,x^2+\frac{24}{(\sqrt{2})^3}}$

@@ 1. sor: / 1. sor: @@
 ==Szeparábilis differenciálegyenlet==
+'''1.''' Oldjuk meg az
 :<math>y'=x^2\frac{\cos^4 y}{\sin y}</math>
-:<math>y(0)=\frac{\pi}{4}</math>
+egyenletet az
+:a) <math> y(0)=-\frac{\pi}{2}</math>
+:b) <math>y(0)=\frac{\pi}{4}</math>
+:c) <math>y(0)=\frac{\pi}{3}+2\pi</math>
+''Mo.'' a) Ez egykonstans megoldás és nincs másik a (0,&pi;/2)-n áthaladó, mert az y szerinti parciális derivált korlátos.
-''Mo.'' A &pi;/4 konstans nem megoldás. Az általános megoldásból keressük a kezdeti feltételt kielégítő megoldást:
+b) Az általános megoldásból keressük a kezdeti feltételt kielégítő megoldást:
 :<math>\frac{\sin y}{\cos^4 y}y'=x^2</math>
 :<math>-\cos^{-4} y(-\sin y)\,y'=x^2</math>
 :<math>\frac{1}{3}\cos^{-3} y=\frac{1}{3}x^3+C</math>
+Az implicit egyenlet:
+:<math>\cos^{-3} y=x^3+3C</math>
+Ha x=0 és y=&pi;/4, akkor
+:<math>3C=\frac{1}{\frac{(\sqrt{2}}{2})^3}</math>
+és
+:<math>y(x)=\frac{1}{\mathrm{arccos}\,x^2+\frac{24}{(\sqrt{2})^3}}</math>