Matematika A3a 2009/9. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Szeparábilis differenciálegyenlet)
(Szeparábilis differenciálegyenlet)
5. sor: 5. sor:
 
:a) <math> y(0)=-\frac{\pi}{2}</math>
 
:a) <math> y(0)=-\frac{\pi}{2}</math>
 
:b) <math>y(0)=\frac{\pi}{4}</math>
 
:b) <math>y(0)=\frac{\pi}{4}</math>
:c) <math>y(0)=\frac{\pi}{3}+2\pi</math>
+
:c) <math>y(0)=\frac{\pi}{4}+2\pi</math>
  
 
''Mo.'' a) Ez egykonstans megoldás és nincs másik a (0,&pi;/2)-n áthaladó, mert az y szerinti parciális derivált korlátos.  
 
''Mo.'' a) Ez egykonstans megoldás és nincs másik a (0,&pi;/2)-n áthaladó, mert az y szerinti parciális derivált korlátos.  
18. sor: 18. sor:
 
:<math>3C=\frac{1}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^3}</math>
 
:<math>3C=\frac{1}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^3}</math>
 
és
 
és
:<math>y(x)=\frac{1}{\mathrm{arccos}(x^2+\frac{24}{(\sqrt{2})^3}})</math>
+
:<math>y(x)=\mathrm{arccos}\frac{1}{\sqrt[3]{x^3+\frac{24}{(\sqrt{2})^3}}}</math>
 +
c) ugyanez + 2&pi;

A lap 2009. november 16., 09:12-kori változata

Szeparábilis differenciálegyenlet

1. Oldjuk meg az

y'=x^2\frac{\cos^4 y}{\sin y}

egyenletet az

a)  y(0)=-\frac{\pi}{2}
b) y(0)=\frac{\pi}{4}
c) y(0)=\frac{\pi}{4}+2\pi

Mo. a) Ez egykonstans megoldás és nincs másik a (0,π/2)-n áthaladó, mert az y szerinti parciális derivált korlátos.

b) Az általános megoldásból keressük a kezdeti feltételt kielégítő megoldást:

\frac{\sin y}{\cos^4 y}y'=x^2
-\cos^{-4} y(-\sin y)\,y'=x^2
\frac{1}{3}\cos^{-3} y=\frac{1}{3}x^3+C

Az implicit egyenlet:

cos − 3y = x3 + 3C

Ha x=0 és y=π/4, akkor

3C=\frac{1}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^3}

és

y(x)=\mathrm{arccos}\frac{1}{\sqrt[3]{x^3+\frac{24}{(\sqrt{2})^3}}}

c) ugyanez + 2π

Személyes eszközök